Estadística descriptiva, de cero

Quizás estés buscando más bien; Población (demografía)

Una población estadística está formada por un conjunto de elementos o individuos con características variables pero homogéneas o regulares del que se desea conocer algo en una investigación estadística. La homogeneidad es importante a la hora de definir una población, con el objetivo de evitar problemas de significatividad de los resultados obtenidos; por ejemplo si se desea investigar el número de trabajadores en las empresas, sería conveniente distinguir poblaciones por sector, teniendo en cuenta que los sectores económicos presentan grandes diferencias en relación a esa variable.

Generalmente es complejo o poco viable recoger datos referidos a cada uno de los elementos que conforman la población (consulta, además, censo estadístico), por lo que se hace necesario escoger una muestra de dicha población, que la represente de forma más o menos representativa. Analizando las características de la muestra, se estiman los parámetros poblacionales o características del conjunto de la población, teniendo por supuesto en cuenta el error muestral que existe en ese proceso de inferencia.

Las poblaciones estadísticas pueden ser poblaciones finitas o poblaciones infinitas, distinción que resulta determinante a la hora de fijar los métodos de muestreo para extraer y analizar la muestra.

Universo (estadística) – Población diana – Población y muestra

Una muestra estadística es un subconjunto de elementos elegidos de una población que por considerarse representativa de esta se utiliza como base para inferir sus características. El criterio fundamental para considerar una muestra como representativa es que esta haya sido extraída al azar. Las razones que empujan a extraer una muestra de una población, en lugar de analizar todos los elementos de su población para su caracterización, tiene que ver comúnmente con la dificultad e incluso imposibilidad de acceder a todos los elementos de una población.

Un ejemplo de muestra estadística consiste en un conjunto de plantas que se ha cultivado y seleccionado en un laboratorio para el estudio de su rendimiento agrícola como representativo del rendimiento agrícola de la especie. En este caso, la justificación de la utilización de una muestra viene dada por la imposibilidad de listar todos los posibles especímenes de la planta, y es que de hecho la lista de esos especímenes es virtualmente infinita.

Otro ejemplo de muestra estadística es el conjunto de trabajadores de una región que se ha seleccionado para estimar la media de de salarios de la población o conjunto de todos los trabajadores. En este caso, sí que se dispone de la lista de todos los trabajadores de la región, pero pasar el cuestionario sobre salarios a todos y cada uno de ellos sería muy dificultoso y costoso, por lo que se toma una muestra de ellos como representativa de todo el colectivo.

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• Censo estadístico

Frecuencia simple absoluta es el número de elementos que toman un valor o pertenecen a un categoría o intervalo concreto dentro de una distribución de frecuencias de una variable estadística. Por ejemplo, para la serie de datos A-B-A-C-A-B-A-A-B-C relativos a la asignatura optativa elegida por 10 alumnos, la frecuencia simple absoluta correspondiente a la asignatura A es 5.

Por otro lado, para variables cuantitativas, cuando las frecuencias simples se acumulan según se incrementa el valor de la variable, hablaremos de frecuencia acumulada absoluta. Por ejemplo, si las calificaciones de un grupo de alumnos son 4-5-5-6-6-6-6-7-7-8, las frecuencias simples de las calificaciones 4 y 5 son respectivamente 1 y 2, y por tanto la frecuencia acumulada absoluta correspondiente al valor 5 es 3 porque hay 3 alumnos con calificación igual o inferior a 5.

• Frecuencia simple
• Datos agrupados
• Frecuencia relativa
• Frecuencia de clase

Imagen: Histograma de los pesos en gramos de una muestra de 100 tomates. En el intervalo 200gr-220gr se encuentran 6 tomates. El histograma puede utilizarse para posicionar el centro de la distribución, en este caso alrededor de 260gr aproximadamente, y visualizar la amplitud total de la distribución.

Un histograma o más exactamente un histograma de frecuencias es una representación gráfica de una variable estadística continua (es decir, que toma muchos diferentes valores) adecuada para aquellos casos en el tamaño de muestra o número de datos es alto, con generalidad puede decirse que mayor que 20, agrupando para ello los datos en intervalos de clase consecutivos y representando las frecuencias de dichos intervalos a través de barras contiguas. Por ejemplo, un histograma es un diagrama apropiado para representar las alturas o pesos de una muestra grande de jóvenes, o las rentas percibidas por una población de familias. No sería un gráfico adecuado para, por ejemplo, representar el número de hermanos por familia,  por ser en este caso la variable discreta (con pocos valores diferentes, sería más conveniente para esa situación un diagrama de barras) o los tiempos de una carrera de 1.500m de 12 atletas, por no disponer en este caso de un número insuficiente de datos (sería más oportuno un diagrama de caja o diagrama de puntos).

Una muestra grande de datos referidos a una variable continua resulta difícil de interpretar por sí sola, ya que agregados individualmente, los datos constituirán un conjunto heterogéneo e irregular. Sin embargo, a partir de la agrupación de los datos en intervalos, el histograma, construido de forma adecuada, nos ayudará a conocer como se distribuyen los datos a lo largo de los intervalos, visualizando características de los datos como su tendencia central y su dispersión.

Conceptos relacionados: amplitud de clase, frecuencia de clase, límite de clase, marca de clase

El punto de partida: el número de intervalos

El punto de partida para la construcción de un histograma consiste en la determinación del número de intervalos de clase en los que se agruparán los datos. Para ello debe tenerse en cuenta que cuanto menor sea el número de intervalos de clase, mayor será la pérdida de información respecto a los datos originales. Más concretamente:

• por un lado, un número excesivamente alto de intervalos, generalmente más de 15 o 20, no resumirá los datos de forma adecuada, de modo que la información resultante seguirá siendo igual o similarmente confusa a la que poseíamos con los datos originales  o no agrupados;
• por otro lado, un número muy bajo, generalmente inferior a 5,  puede derivar en una excesiva simplificación o resumen de los datos, con la consiguiente pérdida de información relevante.

Se han establecido diferentes reglas o fórmulas para el cálculo del número de intervalos más adecuado, generalmente como función creciente del tamaño de la muestra. Entre estas, la mñas utilizada es la regla de Sturges que calcula el número de intervalos de clase $k$ de esta forma, redondeando el resultado al siguiente número entero:

Construcción de los intervalos

Una vez determinado el número de intervalos de clase en los que se van a agrupar los datos, los pasos a desarrollar son los siguientes:

• se calcula el recorrido o rango R de los datos, es decir, la diferencia entre el valor mayor y el valor menor de los datos;
• se divide el recorrido R entre el número de intervalos k, siendo el resultado la amplitud de clase teórica de cada intervalo de clase;
• se redondea por exceso dicha amplitud a un número significativo, por ejemplo 10, 20, 50, …;
• se multiplica dicha amplitud final por el número de intervalos, obteniendo de esta forma el recorrido de los intervalos del histograma;
• el exceso de recorrido entre este recorrido final y el recorrido real se reparte de forma más o menos equitativa por debajo del valor menor de los datos y por encima del valor mayor (para mayor información, consulta amplitud de clase);
• se comienza a construir los intervalos desde el límite inferior de clase del primer intervalo, que coincide con el valor inferior disminuido por el exceso de recorrido considerado, hasta llegar al último intervalo, formando en total $k$ intervalos.

Agrupamiento de los datos

Una vez construidos los intervalos, es hora de agrupar los datos en estos. Para ello debe tenerse en cuenta que por convenio, se supone que los intervalos de clase son  abiertos por la derecha y cerrados por la izquierda, es decir el intervalo de clase a-b se considera de esta forma:

A veces para evitar dicha suposición y dejar claro qué dato entra en cada intervalo, estos se establecen de forma consecutiva pero sin valores coincidentes: por ejemplo, a la hora de agrupar edades pueden establecerse como intervalos de clase 0-4, 5-9, 10-14, 15-19, …

Recomendaciones generales sobre los intervalos

• Los intervalos deben ser disjuntos, esto es, no deben solaparse.
• Como regla general, los intervalos serán de amplitud constante, pero en ciertas situaciones es mejor que se de amplitud diferente.
• Los extremos de los intervalos serán preferiblemente números redondos.

Ejemplo

Se han recogidos los datos sobre la altura de 100 jóvenes del sexo femenino en una región (cm):

170 174 170 168 168 163 184 173 164 168 169 164 163 173 166 169 164 176 171 171 165 178 179 161 180 169 170 157 177 168 172 174 163 169 168 178 180 184 172 172 179 172 163 177 158 163 171 174 167 161 179 173 183 169 166 163 175 169 167 169 167 161 169 181 165 156 167 170 170 170 167 170 174 173 170 168 165 170 173 157 166 170 159 176 166 169 171 172 174 178 173 178 174 176 171 162 166 162 165 164

Buscamos los valores mínimo y máximo entre los datos: 156cm (mínimo)  y 184cm (máximo).

Calculamos el recorrido o diferencia los valores máximo y mínimo: R=184-156=28.

Aplicamos la regla de Sturges para calcular el número de intervalos más adecuado para este número de datos:

Calculamos la amplitud teórica de cada intervalo dividiendo el recorrido entre el número de intervalos fijado. Dado que es conveniente que la amplitud de los intervalos sea un número redondo, redondeamos la amplitud teórica por exceso, para poder cubrir todo el recorrido:

De este modo, debemos construir 8 intervalos de amplitud 4cm, por lo que los intervalos cubren en total 32cm. Como el recorrido real es de 28cm, añadiremos 2cm por debajo del valor mínimo y 2cm por encima del valor máximo, de modo que los intervalos comenzarán en 156-2=154cm y terminarán en 184+2=186cm. Así pues, los intervalos serán: 154-158, 158-162, 162-166, 166-170, 170-174, 174-178, 178-182, 182-186. No nos queda más que realizar el conteo de datos para cada intervalo para obtener las frecuencias de clase que serán las alturas de las barras del histograma:

Diagrama de sectores – Diagrama de barras – Polígono de frecuencias – Ojiva (estadística)

En la imagen, las tres medidas de tendencia central utilizadas con mayor frecuencia, la media (suma de datos entre número de datos, en este caso 27/9), la mediana (valor central) y la moda (valor que repite más veces).

En estadísitca, las medidas de tendencia central o medidas de centralización, llamadas también parámetros de centralización,  son medidas de posición que indican el valor alrededor del cual se distribuye una variable estadística cuantitativa con el objetivo de proporcionar un valor que resuma o represente al conjunto de datos, de forma más o menos significativa. Por ejemplo, para el conjunto de datos 3-4-4-5-5-5-6-6-7, una medida de tendencia central intuitiva (que por otro lado coincide con las medidas de tendencia central típicas) sería el valor 5, ya que alrededor de este valor se distribuyen todos los datos.

Las medidas de tendencia central más utilizadas son la media aritmética simple, la mediana y la moda. A diferencia de la mediana y la moda, la media aritmética es además un promedio, ya promedia, nivela o equilibra para su cálculo todos los datos relativos a la variable. Existen otros medidas de tendencia central, también promedios, con propiedades y aplicaciones interesantes: así, la media ponderada da diferente peso a cada dato, la media geométrica es especialmente útil para calcular tasas medias de variación, la media cuadrática para determinar errores medios, y la media armónica para rendimientos medios.

Una propiedad deseable respecto de una medida de tendencia central es que no sea vea influenciada en gran medida por la presencia de datos atípicos, esto es, que sea una medida robusta en relación a estos datos atípicos. En este sentido, la mediana, a diferencia de la media aritmética simple, es una medida robusta, al definirse como el valor central den entre todos los datos ordenados, sin tener en cuenta los valores que estńa en los extremos. Otras medidas de tendencia central, como las medias recortadas y las medias winsorizadas,  también son robustas y por tanto especialmente útiles para mitigar la influencia de los datos atípicos.

Medidas de dispersión estadística – Medidas de asimetría estadística – Curtosis (estadística)

Imagen: La mediana se muestra en el histograma como el valor que separa el 50% de los datos a cada lado, mostrando de este modo el “centro” de la distribución que puede tomarse como medida representativa del conjunto de datos.

En estadística, la mediana (Me) es el valor de la variable que separa a la mitad inferior de los datos ordenados de la muestra de su mitad superior. Se utiliza como medida de tendencia central para una variable cuantitativa u ordinal y por tanto su valor uede tomarse como representativo del conjunto de los datos. Frente a otras medidas de tendencia central, especialmente la media aritmética simple, presenta la ventaja de que no se ve afectada por los extremos de la distribución y valores atípicos; así, por ejemplo, la mediana de la renta se utiliza frecuentemente en lugar de la renta media, ya que esta última sobrestima el valor medio de las rentas al incluir las rentas muy altas que arrastran hacia arriba su valor. De esta forma, la mediana es un estadístico robusto frente a distribuciones muy asimétricas, con extremos muy largos, y valores atípicos.

Para calcular la mediana, en primer lugar deben ordenarse los datos de menor y mayor, para a continuación tomar como mediana el dato que se encuentra en el medio de la lista ordenada. Cuando el número de datos es par, surge el problema de determinar cuál es el valor en el medio de la lista o distribución de datos. La solución más frecuente es esta:

• Si el número de datos es impar, la media coincide con el valor del centro de la distribución.

Ejemplo: Las calificaciones de un grupo de alumnos son 5-7-8-5-6-9-1. Para calcular la mediana, en primer lugar ordenamos los datos: 1-5-5-6-7-8-9. La mediana coincide con el dato central que es igual a 6. Por tanto, Me=6.

• Si el número de datos es par, la media es la media aritmética de los dos valores centrales.

*Ejemplo: Las calificaciones  ordenadas de un grupo de alumnos son 1-3-5-6-7-8-9-9. El número de datos es par. Por tanto, existen dos, que no uno, valores centrales: 6-7. De este modo, se toma como mediana la media de dichos valores: Me=(6+7)/2=6.5 *

Cálculo de la mediana para datos agrupados – Clase mediana

La moda es el valor que más veces se repite en un grupo de datos. En la imagen, media, mediana y moda, las tres medidas de tendencia central más utilizadas, para un grupo de 9 datos. La moda es 1 porque se repite 3 veces, más que ningún otro valor.

En estadística, la moda es el valor de variable que aparece con mayor frecuencia en un grupo de datos. La moda también se define para distribuciones de probabilidad, como el valor de variable aleatoria que presenta una mayor probabilidad. Junto con la media aritmética simple y la mediana, la moda es una de las medidas de tendencia central más utilizadas, mostrando como aquellas el centro de la distribución de datos. Puede determinarse para distribuciones de variables cuantitativas como cualitativas. Además, la comparación de la moda con la media y la mediana, para una variable cuantitativa, nos da una idea  de la asimetría de la distribución; por ejemplo, como ocurre en la distribución normal, la igualdad entre media, mediana y moda indica que la distribución es perfectamente simétrica.

Sin embargo, la definición anterior presenta como inconveniente que la moda puede tomar más de un valor, cuando la mayor frecuencia o probabilidad es común a un grupo de valores, y de esta forma deben distinguirse distribuciones unimodales, es decir, con una única moda, distribuciones bimodales, con dos modas, e incluso distribuciones con tres o más modas. La existencia de varias modas en una distribución es un indicio de heterogeneidad, es decir, de que los datos provienen de diferentes poblaciones.

Cuando los datos provienen de una variable continua, lo más común es que todos los datos sean diferentes, de modo que todos se repiten una vez, quedando de esta forma la moda sin definir; en este caso, lo más adecuado es agrupar los datos en intervalos y tomar como moda un valor de la variable perteneciente a clase modal o  intervalo de mayor frecuencia (consulta en Ikusmira: Cálculo de la moda para datos agrupados en intervalos). Cuando nos referimos a distribuciones de probabilidad, la moda puede no existir, como ocurre en el caso de la distribución uniforme continua, dado que en esta todos los valores de un intervalo tienen la misma probabilidad de ocurrencia.

Moda absoluta y moda relativa – Distribución bimodal

La varianza es una medida de dispersión que cuantifica la variabilidad de un conjunto de datos alrededor de su media aritmética. Se define como el promedio de los cuadrados de las desviaciones de cada dato respecto a la media. Es una de las medidas de dispersión más fundamentales y utilizadas en estadística descriptiva e inferencial, proporcionando una idea de cuán dispersos o concentrados están los valores en una distribución. Un valor de varianza alto indica que los datos están muy dispersos, mientras que un valor bajo sugiere que están agrupados cerca de la media.

Para una población completa, la varianza se denota con la letra griega sigma al cuadrado ($\sigma^2$). Su fórmula se expresa como $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2}{N}$, donde $x_i$ representa cada valor individual en la población, $\mu$ es la media poblacional y $N$ es el tamaño total de la población. Cuando se trabaja con una muestra de datos extraída de una población, la varianza muestral se denota como $s^2$. Para obtener una estimación insesgada de la varianza poblacional a partir de una muestra, se aplica la corrección de Bessel, dividiendo la suma de los cuadrados de las desviaciones por $n-1$ (donde $n$ es el tamaño de la muestra) en lugar de $n$. Así, la fórmula para la varianza muestral es $s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$, siendo $\bar{x}$ la media muestral.

Una característica importante de la varianza es que sus unidades de medida son el cuadrado de las unidades originales de los datos. Por ejemplo, si los datos se miden en kilogramos, la varianza se expresará en kilogramos cuadrados. Esta propiedad hace que la varianza sea a menudo menos intuitiva de interpretar directamente en el contexto original de los datos. Por esta razón, se recurre frecuentemente a la desviación típica (o estándar), que es la raíz cuadrada positiva de la varianza ($\sigma = \sqrt{\sigma^2}$ para la población y $s = \sqrt{s^2}$ para la muestra). La desviación típica devuelve la medida de dispersión a las unidades originales, facilitando una comprensión más directa de la magnitud de la dispersión de los datos.

La desviación típica o desviación estándar es una medida de dispersión absoluta que mide la media de desviación de cada valor de la variable estadística respecto a la media aritmética simple, en el caso de datos cuantitativos, o esperanza matemática, en el caso de una variable aleatoria. Es la medida de dispersión  más utilizada en la práctica, y en muchos modelos estadísticos es un parámetro básico que define la distribución, por ejemplo en la distribución normal. Asimismo, es un dato fundamental en un gran número de métodos estadísticos. Puede calcularse para distribuciones de datos como para distribuciones de probabilidad. La desviación típica elevada al cuadrado es la varianza. Su valor siempre es positivo o 0, cuanto mayor es su valor la dispersión se considera que es mayor, aunque no existe un valor a partir del cual pueda afirmarse que la dispersión es grande o pequeña, al ser una característica relativa,. Por otra parte, la desviación típica viene dada en las misma unidad de la variable a la que se refiere; por ejemplo, si los datos viene dados en metros, el resultado de la desviación típica vendrá también dado en metros.

Desviación típica para distribuciones de datos

Para una serie de datos $x_1,x_2,...,x_n$ la desviación típica, representada por $s_x$ se calcula de acuerdo a la siguiente fórmula:

En la fórmula anterior aparecen dos expresiones equivalentes, que proporcionan el mismo resultado: la primera corresponde a la fórmula original de la desviación típica, como media cuadrática de las desviaciones de cada dato respecto a la media; desarrollando esa expresión se llega a la segunda versión de la fórmula que permite el cálculo de la desviación típica de forma más simple y rápida.

Ejemplo

Las calificaciones de un grupo de alumnos en una asginatura son las siguientes: 1-3-5-7 (puntos). Para calcular la desviación típica según la fórmula original el primer paso es siempre calcular la media aritmética simple, para lo cual hay sumar los datos (columna 1):

 A continuación hay que calcular las desviaciones de cada dato a la media, cuya suma siempre es 0 (columna 2) ya que se compensan las desviaciones negativas con las positivas. Para evitar esto, calculamos la media cuadrática de dichas desviaciones, es decir, la desviación típica, tomando para ello la suma de las desviaciones al cuadrado (columna 3):

Es decir, cada alumno se desvía en promedio de la media aritmética simple 2 puntos.

El cálculo a través de la segunda versión de la fórmula es más rápido:

Puntuaciones estándar – Error típico o estándar – Regresión a la media

Imagen: Una distribución normal ajustada a un histograma de datos.

La distribución normal o distribución gaussiana, también llamada curva de distribución normal o curva normal, es una distribución de probabilidad frecuentemente utilizada en estadística, con forma de campana - de hecho, se la denomina también campana de Gauss - y simétrica. Su uso habitual se justifica precisamente por su forma, que reproduce de forma ideal muchas distribuciones de datos, cuando estas se concentran alrededor de un valor medio, con colas en los extremos y con aparente simetría a un lado u otro del centro de la distribución; por ejemplo, aquellas distribuciones relativas a las alturas o pesos de un grupo de personas. De hecho, la distribución normal puede deducirse matemáticamente como distribución a la que se tiende cuando se suman de forma independiente un gran número de distribuciones de probabilidad, del mismo modo que la altura o peso de una persona, volviendo al ejemplo anterior, es resultado de la suma independiente de un gran número de factores como herencia, alimentación, etc. La distribución normal posee además un conjunto de propiedades que la convierten en deseable o conveniente como modelo estadístico.

Una distribución normal concreta depende de dos parámetros: su media, generalmente expresada con la letra griega $\mu$ (mu), que por simetría, se sitúa justo en el centro de la distribución, y alrededor de la cual se concentra la mayor densidad de probabilidad (de hecho, la media coincide con la moda de la distribución normal); y la desviación típica, generalmente expresada con la letra griega $\sigma$ (sigma), que indica en que medida la densidad de probabilidad se dispersa alrededor de la media. Más concretamente esta es la función de densidad de una distribución normal, que como puede observarse, depende de los parámetros $\mu$ y $\sigma$, tal como hemos comentado anteriormente:

Debe señalarse en la anterior expresión que en la distribución normal, la variable puede tomar cualquier valor real; por ejemplo, para las alturas de personas, cualquier intervalo de altura sería posible, incluso si este es negativo, lo cual no supone una contradicción en la práctica, ya que en los extremos o colas de la distribución la probabilidad es casi nula.

Dado que la distribución normal depende únicamente de la media y la desviación típica, de forma abreviada se utiliza la siguiente notación para indicar que una variable aleatoria X se distribuye según una distribución normal: