Distribución normal

Imagen: Una distribución normal ajustada a un histograma de datos. 

La distribución normal o distribución gaussiana, también llamada curva normal, es una distribución de probabilidad frecuentemente utilizada en estadística, con forma de campana - de hecho, se la denomina también campana de Gauss - y simétrica. Su uso habitual se justifica precisamente por su forma, que reproduce de forma ideal muchas distribuciones de datos, cuando estas se concentran alrededor de un valor medio, con colas en los extremos y con aparente simetría a un lado u otro del centro de la distribución; por ejemplo, aquellas distribuciones relativas a las alturas o pesos de un grupo de personas. De hecho, la distribución normal puede deducirse matemáticamente como distribución a la que se tiende cuando se suman de forma independiente un gran número de distribuciones de probabilidad, del mismo modo que la altura o peso de una persona, volviendo al ejemplo anterior, es resultado de la suma independiente de un gran número de factores como herencia, alimentación, etc. La distribución normal posee además un conjunto de propiedades que la convierten en deseable o conveniente como modelo estadístico. 

Una distribución normal concreta depende de dos parámetros: su media, generalmente expresada con la letra griega \(\mu\) (mu), que por simetría, se sitúa justo en el centro de la distribución, y alrededor de la cual se concentra la mayor densidad de probabilidad (de hecho, la media coincide con la moda de la distribución normal); y la desviación típica, generalmente expresada con la letra griega \(\sigma\) (sigma), que indica en que medida la densidad de probabilidad se dispersa alrededor de la media. Más concretamente esta es la función de densidad de una distribución normal, que como puede observarse, depende de los parámetros \(\mu\) y \(\sigma\), tal como hemos comentado anteriormente:

$$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi} } e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\ ; \ -\infty<x<\infty$$

Debe señalarse en la anterior expresión que en la distribución normal, la variable puede tomar cualquier valor real; por ejemplo, para las alturas de personas, cualquier intervalo de altura sería posible, incluso si este es negativo, lo cual no supone una contradicción en la práctica, ya que en los extremos o colas de la distribución la probabilidad es casi nula. 

Dado que la distribución normal depende únicamente de la media y la desviación típica, de forma abreviada se utiliza la siguiente notación para indicar que una variable aleatoria X se distribuye según una distribución normal:

$$X \sim N(\mu,\sigma)$$

La distribución normal con media 0 y desviación estándar 1, expresada generalmente de la forma \(Z \sim N(\mu=0,\sigma=1)\) se denomina distribución normal estándar y sus probabilidades están tabuladas. El cálculo de probabilidades de una distribución normal a partir de su función de densidad o función de distribución es complejo, pero mediante el proceso de tipificación y obteniendo la distribución normal estandarizada, el cálculo de cualquier probabilidad para cualquier distribución normal es sumamente sencillo, utilizando para ello la tabla de la distribución normal estándar (aqui, en formato PDF).