Ojiva (estadística)

En estadística, una ojiva, también llamada polígono de frecuencias acumuladas o curva de frecuencias acumuladas, es un gráfico de líneas que muestra cómo se van sumando los datos a lo largo de una variable continua. Se construye a partir del histograma de frecuencias acumuladas (ver imagen de arriba). En cada punto, la ojiva responde a una pregunta muy concreta: ¿cuántos datos hay por debajo de este valor? Se utiliza con datos agrupados en intervalos y sirve para leer de un vistazo la mediana, los cuartiles y cualquier percentil visualmente. Si el histograma enseña cuántos datos caen en cada intervalo, la ojiva enseña cuántos se han acumulado hasta cada punto.

El nombre lo puso el británico Francis Galton en 1875 en su trabajo Statistics by Intercomparison, with Remarks on the Law of Frequency of Error. Galton ordenaba de menor a mayor las medidas de un grupo de personas, sus estaturas por ejemplo, y las dibujaba en fila. La línea que unía sus extremos subía despacio al principio, muy deprisa en el centro y otra vez despacio al final, una S alargada que, junto a su simétrica, le recordaba al arco ojival de las catedrales góticas, y la bautizó ogive. El nombre se quedó, aunque hoy la dibujemos con los ejes al revés que él.

Para construir una ojiva hace falta, primero, una tabla de frecuencias. Imagina que preguntas a 50 personas cuánto tardan en llegar al trabajo y agrupas sus respuestas en intervalos de 10 minutos:

La frecuencia acumulada de cada intervalo es la suma de las anteriores más la suya: 5, luego 5 + 12 = 17, luego 17 + 18 = 35, y así hasta llegar al total, 50. Con la tabla hecha, se dibujan dos ejes, el horizontal con los límites de los intervalos (0, 10, 20…) y el vertical con las frecuencias acumuladas, de 0 a 50, o con su porcentaje, de 0 % a 100 %. Después viene el paso en el que más gente se equivoca: cada frecuencia acumulada se marca en el límite superior de su intervalo, no en el centro. La frecuencia 17 va en el 20, porque a los 20 minutos ya han llegado 17 personas. Los puntos quedan en (10, 5), (20, 17), (30, 35), (40, 45) y (50, 50), y a ellos se añade el de partida, (0, 0), porque en el límite inferior del primer intervalo todavía no ha llegado nadie. Al unirlos con segmentos rectos sale la ojiva, y si el eje vertical va en porcentajes se llama ojiva porcentual, que es la más cómoda para leer percentiles.

La ojiva siempre sube, o como mucho se queda plana, porque una frecuencia acumulada nunca puede disminuir. En ella se leen dos cosas. La primera, dónde se concentran los datos: cuanto más empinado es un tramo, más datos hay en ese intervalo, y en el ejemplo la subida más fuerte está entre los 20 y los 30 minutos, el intervalo con más personas. La segunda, cualquier percentil: para saber por debajo de qué valor queda un porcentaje de los datos, se parte de ese porcentaje en el eje vertical, se avanza en horizontal hasta tocar la ojiva y se baja hasta el eje horizontal.

La mediana, que deja por debajo a la mitad de los datos, es el caso más útil. Aquí la mitad son 25 personas, y en la tabla 25 queda entre las 17 que han llegado a los 20 minutos y las 35 que han llegado a los 30, así que la mediana cae en el intervalo [20, 30). Como dentro de ese intervalo la ojiva es una recta, basta una regla de tres:

La mitad de las personas, por tanto, tarda menos de 24,4 minutos en llegar al trabajo. Con el mismo método el percentil 90 sale exactamente en 40 minutos, porque a los 40 minutos ya han llegado 45 personas, el 90 % del total.

Lo que hemos dibujado es la ojiva «menor que», que cuenta cuántos datos hay por debajo de cada valor y siempre es creciente. También existe la ojiva «mayor que», menos habitual, que cuenta cuántos datos hay por encima: empieza en el total, baja hasta cero y coloca cada punto en el límite inferior de su intervalo. Las dos se cruzan en un punto muy especial, la mediana, porque allí hay exactamente tantos datos por debajo como por encima.

La ojiva tiene dos parientes cercanos. El histograma dibuja una barra con la frecuencia de cada intervalo, y el polígono de frecuencias une con una línea las alturas de esas barras tomando la marca de clase, el punto medio de cada intervalo. La ojiva, en cambio, une las frecuencias acumuladas y las coloca en el límite superior de cada intervalo. En estadística más avanzada es la versión empírica de la función de distribución de una variable aleatoria continua, y superponer las dos es una forma sencilla de ver si un modelo de probabilidad, una normal por ejemplo, se ajusta bien a los datos.

Histograma – Polígono de frecuencias – Frecuencia acumulada relativa – Intervalo de clase – Marca de clase – Amplitud de clase – Datos agrupados – Mediana estadística – Curva de frecuencia