La moda es el valor que aparece con mayor frecuencia en un conjunto de datos. Es la más sencilla de las medidas de tendencia central —ni siquiera exige ordenar los datos ni que estos sean numéricos— y por eso suele presentarse como la hermana pobre, la que solo sirve para el primer curso. La tesis contraintuitiva es que la moda es la única de las tres que existe para cualquier tipo de variable, la única que se puede leer directamente en una tabla de recuento, y, sobre todo, la única que detecta lo que las otras dos esconden: cuando una distribución es en realidad una mezcla de dos.
El nombre lo dice todo: procede del francés mode, la moda, lo más común en un momento dado, y su entrada formal en la estadística se debe a Karl Pearson, que lo definió en su memoria de 1895 sobre variación asimétrica en las Philosophical Transactions. El contexto importa: Pearson escribía para la teoría de la evolución de Darwin, y necesitaba un vocabulario para curvas que no eran la campana del error; su sistema de curvas, con tipos numerados que aún aparecen en los manuales, tomó la moda como el pico, el valor más denso o probable de la curva. Antes de ese trabajo, las distribuciones asimétricas eran un problema mal resuelto: la teoría del error de Gauss describía curvas simétricas alrededor de un centro, pero las mediciones biológicas —estaturas, tallas de semillas, medidas craneales— se negaban a cooperar. La moda quedó como el tercer vértice del triángulo formado con media y mediana, y su ubicación relativa respecto de la media diagnostica la asimetría: en una distribución con cola a la derecha la media supera a la mediana, y esta a la moda; en la simétrica, como la distribución normal, los tres coinciden.
Su comportamiento difiere del de sus hermanas en tres rasgos que conviene memorizar. Primero, puede no existir o haber varias: si ningún valor se repite, como ocurre casi siempre con datos continuos sin agrupar, la moda queda indefinida, y si dos valores empatan en frecuencia la distribución es bimodal; la existencia de dos o más modas es un indicio serio de heterogeneidad, de que los datos mezclan poblaciones distintas. Segundo, en datos continuos lo que se moda es un intervalo, no un punto: se agrupa la variable en clases y se toma la clase modal, el intervalo de mayor frecuencia, cuyo interior se puede estimar por interpolación. Tercero, en una distribución de probabilidad la moda es el valor de máxima densidad, y puede faltar igualmente, como en la distribución uniforme, donde todos los valores son igualmente probables.
El caso documentado que mejor muestra su virtud diagnóstica es el del géiser Old Faithful, en Yellowstone, cuyas erupciones se registran desde 1870. Las mediciones recogidas en agosto de 1985 —272 erupciones reproducidas como conjunto de datos «faithful» en los manuales de estadística— no forman una campana sino dos grupos nítidos: erupciones cortas en torno a dos minutos y largas en torno a cuatro o cinco, con un valle profundo entre ambos. Esa distribución claramente bimodal era la firma de dos regímenes físicos distintos del sistema subterráneo, y ningún promedio lo habría revelado nunca: la media de las duraciones cae justo en el valle, una duración que casi ninguna erupción presenta. La lección generaliza: cuando la moda se multiplica, pregunta si la población se multiplicó antes. El primer tratamiento matemático de esa sospecha fue obra del propio Karl Pearson en 1894, que ajustó a unos mil cangrejos de Nápoles una mezcla de dos curvas normales superpuestas —lo que hoy se llama modelo de mezclas— porque las medidas de su caparazón sugerían dos poblaciones revueltas en una sola muestra; desde entonces, separar la mezcla es una industria entera de la estadística. Los climatólogos usan el mismo truco con temperaturas —una distribución bimodal de máximos diarios delata corrientes de aire alternas—, y en marketing la detección de modas múltiples es la forma más barata de descubrir segmentos de clientes que el promedio había fundido en uno. Un ejemplo doméstico: en las estadísticas de hogares del INE español el tamaño más frecuente es el de dos personas, y ese dato, leído en serie histórica, narra la transformación demográfica del país hacia hogares cada vez más pequeños.
Como estadístico, la moda presenta un comportamiento asintótico curioso que la diferencia de sus hermanas: mientras la media y la mediana convergen a su valor poblacional a velocidades bien comprendidas, la moda, definida por un máximo local, es matemáticamente más escurridiza, y no fue hasta 1964 cuando Herman Chernoff publicó en los Annals of Mathematical Statistics un estudio riguroso de su estimación. En la práctica, de hecho, los estadísticos rara vez estiman la moda muestral directamente: para datos agrupados interpolan dentro de la clase modal, y para datos continuos la leen de una curva de densidad suavizada, conscientes de que el resultado depende del suavizado elegido. La moda es, en ese sentido, la menos cuantitativa de las medidas centrales: casi siempre se conoce mejor mirando el gráfico que calculando.
Las objeciones son sustanciales. La moda es la medida menos estable de las tres: depende del azar del muestreo más que ninguna otra, en muestras pequeñas puede saltar de un valor a otro con pocas observaciones de diferencia, y en datos agrupados cambia al cambiar los cortes de los intervalos, un recordatorio de que toda agrupación es una decisión. Tampoco usa la información de manera eficiente: descarta por completo todas las observaciones que no son la más frecuente, y en variables discretas con frecuencias planas —empates frecuentes— puede multiplicarse hasta perder sentido. Y su versión continua, estimada por densidad kernel, es sensible al ancho de banda elegido: el número de modas que «se ven» depende en parte del suavizado, lo que obliga a declarar el método.
Nada de esto desplaza su utilidad, que es donde las demás no llegan. Para variables cualitativas —la asignatura más elegida, el color más vendido, la causa de muerte más frecuente— la moda es el único centro posible, porque no hay magnitudes que promediar ni orden que respetar. Para detectar mezclas y segmentos, es la herramienta más rápida que existe. Y como diagnóstico de asimetría junto a la media y la mediana, sigue siendo uno de los tres puntos sin los cuales Karl Pearson no hubiera podido ni plantear su sistema de curvas. El barómetro más simple es también, a veces, el que avisa primero.
Moda absoluta y moda relativa – Distribución bimodal – Clase modal – Media aritmética simple – Mediana estadística – Medidas de asimetría estadística