Varianza muestral

Este artículo es sobre la varianza muestral sin corregir para una serie de datos. Se denomina también varianza poblacional, aunque en Ikusmira utilizaremos el término de varianza poblacional para hacer referencia a la varianza de una distribución de probabilidad.

La varianza muestral no corregida, a veces llamada también varianza poblacional,  es una medida estadística de dispersión absoluta para un conjunto de datos referidos a una variable estadística cuantitativa. Conceptualmente es la media de las distancias al cuadrado de los valores de la variable a la media aritmética simple de la distribución; de esta forma, una varianza más alta que otra indica que la desviación de los datos o de los valores de una variable estadística o variable aleatoria respecto a la media es mayor y por tanto también es mayor la dispersión. Se utiliza cuando se desea determinar la varianza de una serie de datos sin ir mas allá, esto es, cuando el objetivo no es realizar a partir de la muestra una estimación o inferencia sobre la varianza de una población. Su resultado se mide en unidades de la variable al cuadrado.

La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza e indica en promedio la desviación media respecto a la media; así pues, la desviación típica tiene un significado más concreto e inmediato que la varianza como desviación al cuadrado media respecto a la media, pero aún así la varianza se utiliza frecuentemente en estadística debido a sus propiedades matemáticas.

Hay que advertir de que se trata de una medida no robusta, muy sensible a la existencia de datos atípicos en el conjunto de datos. 

Cálculo para una serie de datos individuales

Para una serie de datos \(x_1,x_2,\ldots,x_n\), la varianza (\(s_x^2)\) se calcula de acuerdo a la siguiente fórmula:

$$s_x^2=\cfrac{\sum_i(x_i-\overline{x})^2}{n}$$

Por ejemplo, a partir de las puntuaciones \(x_i\) obtenidas por un grupo de alumnos en un examen recogidas en la primera columna se muestran a continuación los cálculos para la determinación de la varianza muestral:

Calculamos en primer la media aritmética simple, siendo \(n\) el número de datos:

$$\overline{x}=\cfrac{\sum_ix_i}{n}=\cfrac{60}{10}=6$$

En la segunda columna calculamos las desviaciones respecto a la media. Su suma es siempre es 0. 

En la tercera columna calculamos las anteriores desviaciones al cuadrado, con el objetivo de que no se compensen unas con otras por tener signo distinto, y las sumamos. Dividiendo esa suma entre el tamaño de la muestra o  número de datos obtenemos la varianza, cuyas unidades son simepre la unidad de la variable al cuadrado:

$$s_x^2=\cfrac{\sum_i(x_i-\overline{x})^2}{n}=\cfrac{82}{10}=8.2\ puntos^2$$

Fórmula simplificada para el cálculo de la varianza muestral

Desarrollando algebráicamente la fórmula anterior se llega a esta fórmula simplificada  de la varianza muestral:

$$s^2=\cfrac{\sum_ix_i^2}{n}-\overline{x}^2$$

Demostración

$$s_x^2 = \cfrac{\sum_i (x_i - \overline{x})^2}{n} = \cfrac{\sum_i x_i^2 - \sum_i 2x_i \overline{x} + \sum_i \overline{x}^2}{n} = \cfrac{\sum_i x_i^2 - 2 \overline{x} \sum_i x_i + \sum_i \overline{x}^2}{n}=$$

$$\cfrac{\sum_i x_i^2}{n} - 2\overline{x}\cfrac{\sum_i x_i}{n}+ \cfrac{\sum_i \overline{x}^2}{n}=\cfrac{\sum_i x_i^2}{n}- 2\overline{x}^2+\cfrac{n\overline{x}^2}{n}=\cfrac{\sum_i x_i^2}{n}- 2\overline{x}^2+\overline{x}^2=\cfrac{\sum_i x_i^2}{n}- \overline{x}^2$$

Ejemplo

Vamos a desarrollar el cálculo de la fórmula simplificada para el ejemplo anterior:

Y finalmente sustituimos en la fórmula simplificada:

$$s^2=\cfrac{\sum_ix_i^2}{n}-\overline{x}^2=\cfrac{442}{10}-6^2=8.2\ puntos^2$$

El resultado es, como debe ser, el mismo. Pero en lugar de desarrollar tres columnas de cálculo, hemos desarrollado únicamente dos. 

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