Varianza poblacional (distribuciones de probabilidad)

La varianza poblacional, también denominada en general varianza de una variable aleatoria, o varianza de una distribución de probabilidad en concreto, es una medida de dispersión estadística de una variable aleatoria o distribución de probabilidad. Se denota por \(\sigma^2\) (sigma cuadrado) y viene dada por el momento central de segundo orden correspondiente a la variable aleatoria \(X\) en cuestión, siendo \(\mu\) la media poblacional o esperanza matemática:

$$\sigma^2=\mu_2=E[(X-\mu)^2]$$

Desarrollando la definición anterior puede calcularse también en términos de momentos respecto al origen:

$$\sigma^2=\alpha_2-\alpha_1^2=E[X^2]-\mu^2$$

Su cálculo en la práctica difiere según nos encontremos ante una variable aleatoria discreta o una variable aleatoria continua. Examinemos cada caso. 

Varianza de una distribución de probabilidad discreta

Denotando \(x_i\) y \(p(x_i)\) los diferentes valores que tomas la variable aleatoria y 

$$\sigma^2=\sum(x_i-\mu)^2p(x_i)=\sum x_i^2p(x_i) - (\sum x_ip(x_i))^2$$

Ejemplo

Vamos a calcular la varianza de la puntuación obtenida al lanzar un dado equilibrado. Para ello partimos de la distribución de probabilidad de dicha puntuación en las primeras dos columnas:

De este modo, la varianza de la puntuación obtenida al lanzar un dado equilibrado:

$$\sigma^2=\sum x_i^2p(x_i) - (\sum x_ip(x_i))^2=15.16-3.5^2=2.91$$