Desviación típica (desviación estándar)
La desviación típica o desviación estándar es una medida de dispersión absoluta que mide la media de desviación de cada valor de la variable estadística respecto a la media aritmética simple o esperanza matemática. Es la medida de dispersión más utilizada en la práctica, y en muchos modelos estadísticos es un parámetro básico que define la distribución, por ejemplo en la distribución normal. Asimismo, es un dato fundamental en un gran número de métodos estadísticos. Puede calcularse para distribuciones de datos como para distribuciones de probabilidad. La desviación típica elevada al cuadrado es la varianza. Su valor siempre es positivo o 0, cuianto mayor es su valor la dispersión se considera que es mayor, aunque no existe un valor a partir del cual pueda afirmarse que la dispersión es grande o pequeña, al ser una caracterísitca relativa, y su resultado viene dado en las misma unidad de la variable a la que se refiere.
Desviación típica para distribuciones de datos
Para una serie de datos \(x_1,x_2,...,x_n\) la desviación típica, representada por \(s_x\) se calcula de acuerdo a la siguiente fórmula:
$$s_x=\sqrt{\cfrac{\sum(x_i-\overline{x})^2}{n}}=\sqrt{\cfrac{\sum x_i^2}{n}-\overline{x}^2}$$
En la fórmula anterior aparecen dos expresiones equivalentes, que proporcionan el mismo resultado: la primera corresponde a la fórmula original de la desviación típica, como media cuadrática de las desviaciones de cada dato respecto a la media; desarrollando esa expresión se llega a la segunda versión de la fórmula que permite el cálculo de la desviación típica de forma más simple y rápida.
Ejemplo
Las calificaciones de un grupo de alumnos en una asginatura son las siguientes: 1-3-5-7 (puntos). Para calcular la desviación típica según la fórmula original el primer paso es siempre calcular la media aritmética simple, para lo cual hay sumar los datos (columna 1):
$$\overline{x}=\cfrac{\sum x_i}{n}=\cfrac{20}{5}=4$$
A continuación hay que calcular las desviaciones de cada dato a la media, cuya suma siempre es 0 (columna 2) ya que se compensan las desviaciones negativas con las positivas. Para evitar esto, calculamos la media cuadrática de dichas desviaciones, es decir, la desviación típica, tomando para ello la suma de las desviaciones al cuadrado (columna 3):
| \(x_i\) |
\((x_i-\overline{x})\) |
\((x_i-\overline{x})^2\) |
|---|---|---|
| 1 | -3 | 9 |
| 3 | -1 | 1 |
| 5 | 1 |
1 |
| 7 | 3 | 9 |
| 4 | 0 | 0 |
| Suma=20 |
Suma=0 |
Suma=20 |
$$ s_x=\sqrt{\cfrac{(x_i-\overline{x})^2}{n}}=\sqrt{\cfrac{20}{5}}=2pt.$$
Es decir, cada alumno se desvía en promedio de la media aritmética simple 2 puntos.
El cálculo a través de la segunda versión de la fórmula es más rápido:
| \(x_i\) |
\(x_i^2\) |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 3 | 9 |
| 5 | 25 |
| 7 | 49 |
| 4 | 16 |
| Suma=20 |
Suma=100 |
$$s_x=\sqrt{\cfrac{\sum x_i^2}{n}-\overline{x}^2}=\cfrac{100}{5}-4^2=2pt.$$
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Como citar: Sarasola, Josemari (2024) en ikusmira.org
"Desviación típica (desviación estándar)" (en línea) Enlace al artículo
Última actualización: 27/08/2024
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