Corrección de Bessel
La corrección de Bessel es una corrección para la fórmula original de la varianza para un conjunto de datos, de forma que esa varianza calculada a partir de una muestra de datos sea un estimador no sesgado de la varianza poblacional \(\sigma ^ 2\). Fue desarrollada por el astrónomo y matemático alemán Friedrich Bessel (1784-1846).
La fórmula original de la varianza para un conjunto de datos es:
$$s^2 =\cfrac {\sum_i (x_i-\overline {x}) ^ 2} {n} $$
Si tomamos esta fórmula de la varianza como estimador de la varianza poblacional \8\sigma ^ 2\), puede demostrarse que infravalora sistemáticamente dicha varianza, aunque este error disminuye al aumentar el tamaño muestral:
La fórmula original de la varianza para un conjunto de datos es:
$$s^2 =\cfrac {\sum_i (x_i-\overline {x}) ^ 2} {n} $$
Si tomamos esta fórmula de la varianza como estimador de la varianza poblacional \8\sigma ^ 2\), puede demostrarse que infravalora sistemáticamente dicha varianza, aunque este error disminuye al aumentar el tamaño muestral:
$$E[s^2]=\cfrac{n-1}{n}\sigma^2 \longrightarrow sesgo(s^2)=\sigma^2-E[s^2]=\cfrac{1}{n}\sigma^2$$
La expresión de la esperanza de la varianza de datos nos da una pista inmediata para la corrección del sesgo:
$$E\Bigg[\cfrac{n}{n-1}s^2\Bigg]=\cfrac{n}{n-1}\cfrac{n-1}{n}\sigma^2=\sigma^2$$
Es ese factor de corrección \(\cfrac{n}{n-1}\) aplicado a la varianza original el que da lugar a la varianza corregida:
$$\hat {s}^2 =\cfrac {n} {n-1} s ^ 2 =\cfrac {\sum_i (x_i-\overline {x}) ^ 2} {n-1}$$
La fórmula anterior que se utiliza como estimador de la varianza \(\sigma ^ 2\) se denomina varianza muestral corregida (\(\hat{s}^2\) y es insesgada respecto a la varianza \(\sigma ^ 2\).
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Como citar: Sarasola, Josemari (2024) en ikusmira.org
"Corrección de Bessel" (en línea) Enlace al artículo
Última actualización: 27/08/2024
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