Comprobación de Charlier

La comprobación de Charlier (en homenaje a su inventor, el astrónomo sueco Carl Charlier, 1862-1934) es una comprobación de la realización correcta  de los cálculos manuales de la varianza muestral cuando esta se ha calculado para un conjunto de datos agrupados en una distribución de frecuencia a través de la computación de una nueva columna de valores a partir de la tabla de frecuencias. 

Para la comprobación se parte de la siguiente identidad, donde los valores \(x\) y \(n\) son respectivamente los valores correspondientes a las valores de la variable o marcas de clase cuando la distribución está agrupada en intervalos y frecuencias de cada intervalo:

$$\sum n(x+1)^2=\sum nx^2+2\sum nx+ \sum n$$

Las sumas a la derecha de la identidad ya han sido desarrolladas previamente para el cálculo de la varianza, por lo que son conocidas. La comprobación de Charlier consiste en desarrollar la suma correspondiente al lado de izquierdo de la expresión y verificar que su resultado coincide con la suma de las sumas del lado derecho ya calculadas previamente. 

Ejemplo

Por ejemplo, a partir de la tabla de frecuencias de las notas obtenidas por un grupo de alumnos en un examen (columnas 1 y 2) recogidas en la primera columna, se muestran a continuación los cálculos para la determinación de la varianza muestral (columnas 3, 4 y 5). La última columna es la correspondiente a la comprobación de Charlier y no es necesaria para el cálculo de la varianza; únicamente es necesaria para la comprobación.

Calculamos la varianza muestral:

$$s_x^2=\cfrac{1073}{33}-\Bigg(\cfrac{173}{33}\Bigg)^2=5.05$$

Aplicamos a continuación la comprobación de Charlier para dar por buenas las sumas calculadas en las tablas:

$$1452=1073+2 \times 173+33$$

La igualdad es correcta, por lo que las sumas para el cálculo de la varianza también lo son.