Distribución geométrica

La distribución geométrica es la distribución de probabilidad del número de fracasos obtenidos hasta conseguir el primer éxito en un proceso de Bernoulli. La función de cuantía de la distribución, que proporciona la probabilidad antes mencionada, es la siguiente, siendo p la probabilidad de éxito en cada experimento y (1-p) la probabilidad de fracaso:

$$P[X=x]=(1-p)^x \cdot p\ ; \ x=0,1,2,...$$

Por ejemplo, calculemos la probabilidad de obtener 4 piezas sin defecto antes de obtener una pieza defectuosa, siendo la probabilidad de obtener una pieza defectuosa 0.1 y suponiendo independencia entre las piezas:

$$P[X=4]=P[XXXX0]=0.1 \times 0.1 \times 0.1 \times 0.1 \times 0.9=0.1^4 \times 0.9$$

Hay que observar que la variable correspondiente a la distribución geométrica es discreta, a partir de 0, y que puede tomar valores hasta el infinito.

Como puede observarse en la función de cuantía, para obtener una probabilidad de una valor x es suficiente conocer el valor de un parámetro p , de modo que abreviadamente podemos referirnos a la distribución geométrica de forma abreviada de esta forma:

$$X \sim G(p)$$

Por otra parte, la distribución geométrica o de Pascal es un caso particular de la distribución binomial negativa que proporciona la probabilidad de un número de fracasos antes del éxito r-ésimo:

$$X \sim G(p) \equiv BN(r=1,p)$$

De hecho, la distribución binomial negativa es la suma de r distribuciones geométricas.

La media y la varianza de la distribución geométrica son las siguientes:

$$X \sim G(p) :\  \mu=\cfrac{q}{p}\ ; \  \sigma^2=\cfrac{q}{p^2}$$