Distribución binomial negativa (distribución de Pascal)

La distribución binomial negativa o distribución de Pascal (Blaise Pascal, 1623-1662) es la distribución de probabilidad que representa en una secuencia independiente de eventos binarios, denominados éxito y fracaso con probabilidades respectiva p y q=1-p, el número de fracasos hasta el acaecimiento del éxito r-ésimo. Su función de probabilidad es la siguiente: 

$$P[X=x]=q^x \times p^{r-1} \times \cfrac{(n+(r-1)!}{n! (r-1)!} \times p\ ; \ X]x=0,1,2,\ldots$$

Se representa de forma abreviada de la siguiente forma, concretando los parámetros r y p:

$$X \sim BN(r,p)$$

La distribución geométrica es un caso especial de la distribución binomial negativa, con r=1. Por otro lado, la distribución binomial negativa es la suma de r distribuciones geométricas.

Como ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de obtener 6 piezas sin defectos hasta obtener 4 piezas defectuosas, siendo la probabilidad de una pieza defectuosa 0.1?

$$P[X=x]=0.9^6 \times 0.1^3 \times \cfrac{9!}{9!3!} \times 0.1$$

La esperanza y la varianza de la distribución binomial negativa son las siguientes, fácilmente deducibles del hecho de que la suma de r distribuciones geométricas da lugar a una distribución binomial negativa:

$$E[X]=\cfrac{rq}{p}\ ; \ var[X]=\cfrac{rq}{p^2}$$

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