Distribución binomial

La distribución binomial es la distribución de probabilidad correspondiente al número de éxitos en un proceso de Bernoulli, donde cada experimento aleatorio tiene dos resultados posibles, éxito y fracaso, con  una probabilidad  éxito p. La función de probabilidad de la distribución binomial es la siguiente:

$$P[X=x]=p^x \times (1-p)^{n-x} \times \cfrac{n!}{x!(n-x)!}\  \ ; \ x=1,2,...,n$$

La anterior fórmula se explica de esta forma: los éxitos, con probabilidad p cada uno de ellos, ocurren x veces, los fracasos (n-x) veces, y todos ellos en cualquier orden, concretándose este último factor en la fórmula final de las permutaciones con repetición.

La probabilidad de fracaso, esto es (1-p), se suele expresar también con la letra 1, cumpliéndose p+q=1.

Dado que la distribución tiene dos parámetros, concretamente n y p, la distribución binomial se específica de forma resumida a través de esta notación:

$$ X \sim B(n,p)$$

Su esperanza y varianza son la siguientes:

$$E[X]=np\ \ ; \ \sigma^2=npq$$

Relación con la distribución de Bernoulli

Una distribución binomial B(n,p) es la suma de n distribuciones de Bernoulli b(p). En efecto, si se suman los valores 1, éxito, y 0, fracaso, de las distribuciones de Bernoulli, el resultado es el número de éxitos correspondiente en la distribución binomial.

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