Distribución binomial

La distribución binomial es la distribución de probabilidad correspondiente al número de éxitos en una serie independiente de n experimentos de Bernoulli, cada uno de ellos con una probabilidad de éxito p. La función de probabilidad de la distribución binomial es la siguiente:

$$P[X=x]=p^x \times (1-p)^{n-x} \times \cfrac{n!}{x!(n-x)!}\  \ ; \ x=1,2,...,n$$

La anterior función puede justificarse de esta forma: los éxitos, con probabilidad p cada uno de ellos, ocurren x veces, los fracasos (n-x) veces, y todos ellos en cualquier orden, concretánodse este último factor en la féormula final de las permutaciones con repetición.

La probabilidad de fracaso, esto es (1-p), se suele expresar también con la letra 1, cumpliéndose p+q=1.

Dado que la distribución tiene dos parámetros, concretamente n y p, la distribución binomial se específica de forma resumida a través de esta notación:

$$ X \sim B(n,p)$$

Su esperranza y varianza son la siguientes:

$$E[X]=np\ \ ; \ \sigma^2=npq$$