Distribución de Bernoulli

La distribución de Bernoulli o distribución dicotómica es la distribución de probabilidad asociada a un experimento de Bernoulli en el que se asigna a los resultados éxito y fracaso los valores de 1 y  0 con probabilidades respectivas p y q=1-p, considerando como éxito que el suceso de interés ocurra y fracaso lo contrario. Hay que hacer notar que éxito y fracaso, 1 y 0, no se corresponden con algo bueno y deseable y algo perjudicial respectivamente, sino que dichas denominaciones depende del suceso que se esté analizando. Por ejemplo, si nos estamos fijando en si una pieza es defectuosa o no, para luego contar las defectuosas, una pieza defectuosa constituirá un éxito.

En forma de tabla, la distribución de Bernoulli se establece de esta forma:

De forma abreviada, escribiremos de esta forma que una variable X sigue una distribución de Bernoulli:

$$X \sim b(p)$$

Como puede observarse, la distribución de Bernoulli depende de un único parámetro: p, la probabilidad de éxito o de que la variable tome el valor 1. 

Características de la dsitribución de Bernoulli

A continuación se dan la media o esperanza y varianza de la distribución de Bernoulli:

$$\mu_{b(p)}=p\ ; \ \sigma^2_{b(p)}=pq$$

Relación con la distribución binomial

La suma de \(n\) distribuciones de Bernoulli \(b(p)\) da como resultado la distribución binomial \(B(n,p)\). En efecto, si se suman los valores 0 y 1 (fracaso y éxito), el resultado es el número de éxitos en una secuencia de $n$ experimentos, cuya probabilidad es proporcionada por la distribución binomial.