Probabilidad compuesta: la regla de la multiplicación

La probabilidad compuesta o probabilidad conjunta es la probabilidad de que ocurran a la vez dos o más sucesos aleatorios, es decir la probabilidad de su intersección (consulta, además, intersección de sucesos); por ejemplo, al extraer dos bolas al azar de una caja con bolas blancas y negras, la probabilidad de que la primera sea negra y la segunda blanca, al mismo tiempo, es una probabilidad compuesta. 

Para calcular una probabilidad compuesta se utiliza la denominada regla de la multiplicación. La probabilidad de que ocurran los sucesos A y B a la vez (es decir, la probabilidad de su intersección \(A \cap B\)) se calcula de esta forma, siendo \(P[B/A]\) la probabilidad de B condicionada a la ocurrencia de A:

$$P[A \cap B]=P[A] \times P[B/A]$$

La regla es generalizable a la intersección de más de dos sucesos aleatorios a la vez:

$$P[A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap \ldots \cap A_{n-1} \cap A_n]=$$

$$P[A_1] \times P[A_2 / A_1] \times P[A_3 / A_1 \cap A_2] \times .... \times P[A_3n/ A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap \ldots \cap A_{n-1}] $$

Cuando los sucesos son independientes entre sí, la probabilidad compuesta se calcula multiplicando directamente las probabilidad de los sucesos:

$$P[A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap \ldots \cap A_{n-1} \cap A_n]=P[A_1] \times P[A_2 ] \times P[A_3 ] \times .... \times P[A_{n-1}] \times P[A_n/] $$

EJEMPLOS

Sucesos dependientes

En una urna hay 6 bolas blancas y 4 bolas negras. Se extraen dos bolas sucesivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas sean blancas?

$$P[primera\ bola\ blanca\ \cap\ segunda\ bola\ blanca]=$$

$$P[primera\ bola\ blanca]\times P[segunda\ bola\ blanca\ / \ primera\ bola\ blanca]=\cfrac{6}{10}  \times  \cfrac{5}{9}$$

El segundo término de la multiplicación es una probabilidad condicionada e indica la probabilidad de que la segunda bola sea blanca, sabiendo que la primera bola ha sido blanca. Como tras extraer una primera bola y resultar esta blanca quedan 9 bolas de las que 5 son blancas, dicha probabilidad condicionada es 5/9.

Sucesos independientes

Se lanza un dado dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan dos seises?

Los lanzamientos de dados y sus resultados sucesivos son independientes entre sí, ya que el hecho de que en el primer lanzamiento haya resultado un seis no aporta ninguna nueva información sobre el hecho de sacar seis en el segundo lanzamiento. Así pues, la probabilidad conjunta de los dos sucesos se calcula simplemente multiplicando las probabilidades de los sucesos simples:

$$P[6 \cap\ 6]=\cfrac{1}{6} \times \cfrac{1}{6}=\cfrac{1}{36}$$

Para calcular la probabilidad de sacar 10 seises consecutivos, del mismo multiplicaríamos 10 veces la probabilidad de sacar seis en un lanzamiento sinple:

$$P[10\ aldiz\ 6]=P[6 \cap\ 6 \cap \dots \cap 6]=P[6]\times P[6]  \times  \ldots \times  P[6]=\Bigg(\cfrac{1}{6}\Bigg)^{10}$$

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