Sucesos independientes (independencia de sucesos)

Dos sucesos aleatorios son independientes entre sí cuando la ocurrencia de cualquiera de ellos no proporciona ninguna información relevante o adicional sobre la ocurrencia de otro, de modo que ocurrido uno, la probabilidad del otro no se modifica; dicho de otra forma, cuando la probabilidad de cada suceso condicionada a la ocurrencia del otro es igual a la probabilidad del suceso en cuestión. Es decir, dados los sucesos aleatorios \(A \) y \(B\), estos son independientes sí si se cumplen estas dos condiciones simultáneamente:

$$P[A/B]=P[A]\ \ \text{y} \ \ P[B/A]=P[B]$$

Al mismo tiempo, la independencia de sucesos implica que la probabilidad de la intersección de sucesos, es decir, la probabilidad de que ocurran conjuntamente ambos sucesos, que en principio se calcula mediante probabilidades condicionadas a través de la probabilidad compuesta o regla de la multiplicación, es simplemente el producto de las probabilidades de cada uno de esos sucesos:

$$P[A \cap B]=P[A] \times P[B/A]=P[B] \times P[A/B]= P[A] \times P[B]$$

De esta forma. el hecho de que los sucesos aleatorios sean independientes entre sí facilita en gran medida el cálculo de probabilidades de la intersección: simplemente se deben multiplicar las probabilidades simples de cada uno de los sucesos implicados en la intersección, sin tener en cuenta la ocurrencia del resto de sucesos.

Independencia de más de 2 sucesos aleatorios

El concepto de independencia de sucesos puede trasladarse a más de dos sucesos de tres formas diferentes:

• Los sucesos \(A_1,A_2,...,A_n\) son independientes de sucesos dos a dos o por parejas, de forma análoga a la definición de independencia para dos sucesos, cuando la ocurrencia de cualquiera de ellos no modifica la probabilidad de ninguno de los otros: $$P[A_i/A_j]=P[A_i] \ ; \ i \neq j\ ; \ i,j=1,2,...,n$$
• Los sucesos \(A_1,A_2,...,A_n\) son mutuamente independientes entre sí cuando la probabilidad de cualquiera de ellos no se ve modificada por la ocurrencia de la intersección o ocurrencia conjunta de un grupo de ellos: $$P[A_i/A_j \cap A_k \cap A_m]=P[A_i] \ ; \ i \neq j,k,m\ ; \ i,j,k,m=1,2,...,n.$$ De esta forma la probabilidad conjunta de un grupo de ellos es simplemente el producto de las probabilidades de cada uno de ellos: $$P[A_1\cap A_2 \cap ... \cap A_n]=P[A_1] \times P[A_2] \times ... \times P[A_n]$$
  
• Finalmente, existe independencia de sucesos k a k cuando la ocurrencia conjunta de cualesquiera k de los n sucesos no modifica la probabilidad de cualquier otro suceso.

EJEMPLOS

Lanzamientos sucesivos de una moneda

Los resultados (\(O\) cara o \(X\) cruz) de lanzar una moneda son independientes entre sí, dado que los resultados previos no aportan ninguna información sobre los resultados posteriores. La probabilidad de obtener cara en un lanzamiento es siempre 1/2, independientemente de los resultados obtenidos con anterioridad. Así, la probabilidad conjunta de varios resultados se calcula simplemente multiplicando las probabilidades simples. Por ejemplo, la probabilidad de obtener dos caras consecutivas, esto es, cara en un primer lanzamiento y cara en un segundo lanzamiento es la siguiente:

$$P[1O \cap 2O]=P[1O] \times P[2O]= \cfrac{1}{2} \times \cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{4}$$