La integral de Riemann

La integral de Riemann es la forma clásica de dar sentido preciso al área que queda bajo una curva. La idea es tan antigua como la geometría griega: si una figura tiene un borde curvo y no se sabe medir directamente, se rellena con rectángulos, cuya área es base por altura, y se suman. El resultado es una aproximación. Si los rectángulos se hacen cada vez más estrechos, la suma se acerca a un número, y ese número es, por definición, el área. Bernhard Riemann dio en 1854 la definición exacta de ese proceso, que sigue siendo la que se enseña en los cursos de cálculo, y con ella la escritura

que se lee «integral de $f$ entre $a$ y $b$». El signo alargado es una S de summa, elegido por Leibniz para recordar que una integral es una suma de muchísimos trozos pequeños, y $dx$ es el recuerdo del ancho de esos trozos.

El primer cálculo de este tipo que se conserva es de Arquímedes. En La cuadratura de la parábola, escrito en el siglo III a. C., demostró que el área de un segmento de parábola es exactamente cuatro tercios de la del triángulo inscrito con la misma base y el mismo vértice. Lo hizo rellenando el segmento con triángulos cada vez más pequeños y demostrando, por reducción al absurdo, que la suma no podía ser ni mayor ni menor que ese valor: el llamado método de exhaución. Traducido al lenguaje actual, es el cálculo de que el área bajo $y = x^2$ entre 0 y 1 vale $1/3$, el primer ejemplo de la figura.

La construcción de Riemann es la siguiente. Se parte el intervalo $[a, b]$ en tramos, se elige en cada tramo un punto cualquiera, y se forma un rectángulo cuya altura es el valor de la función en ese punto. La suma de las áreas de todos los rectángulos se llama suma de Riemann. Si, al hacer los tramos cada vez más finos, todas esas sumas se acercan al mismo número, con independencia de cómo se partió el intervalo y de qué punto se eligió en cada tramo, la función es integrable y ese número es su integral. La exigencia de que no importe el punto elegido es la clave: garantiza que el área no depende del método de aproximación, sino solo de la curva.

La figura permite comparar las elecciones más habituales. Tomar la altura en el borde izquierdo de cada tramo o en el derecho da, para una curva que sube, una aproximación por debajo o por encima; con 8 rectángulos bajo $x^2$, la suma por la izquierda da 0,273 en lugar de 0,333. Al doblar el número de rectángulos, el error de estos dos métodos se reduce a la mitad: es un error proporcional al ancho de cada tramo, lo que se llama un método de primer orden. Tomar la altura en el punto medio, o sustituir los rectángulos por trapecios que siguen la curva de extremo a extremo, es mucho mejor. Con esos métodos el error se divide por cuatro cada vez que se dobla el número de piezas: cae con el cuadrado del ancho. En el gráfico de abajo se ve como una recta con el doble de pendiente. Con 256 trapecios el error es de millonésimas; con 256 rectángulos por la izquierda, de milésimas.

Riemann no buscaba una definición de área por sí misma. La dio en su trabajo de habilitación de 1854 sobre las series de Fourier, que se publicó después de su muerte, en 1868. Para saber cuándo una función se puede escribir como suma de senos y cosenos hacía falta calcular integrales de funciones muy irregulares, con infinitos saltos, y la definición anterior, la de Augustin-Louis Cauchy de 1823, solo servía para funciones continuas. Riemann la amplió a todas las funciones que se dejan encerrar entre sumas por arriba y por abajo tan próximas como se quiera, que resultaron ser las acotadas cuyos puntos de discontinuidad ocupan, en un sentido preciso, un espacio nulo.

La integral tiene una relación inesperada con la derivada. El teorema fundamental del cálculo, que Newton y Leibniz ya conocían en su forma práctica, dice que si $F$ es una función cuya derivada es $f$, entonces el área bajo $f$ entre $a$ y $b$ vale $F(b) - F(a)$. Calcular áreas se reduce a deshacer derivadas. Para $x^2$, una función cuya derivada es $x^2$ es $x^3/3$, así que el área entre 0 y 1 es $1/3$, lo mismo que obtuvo Arquímedes con muchísimo más esfuerzo. El área bajo $\sin x$ entre 0 y $\pi$ es 2, y la de $1/x$ entre 1 y el número e es exactamente 1, lo que sirve de definición del logaritmo natural.

El teorema fundamental no resuelve todos los casos. La función $e^{-x^2}$, la forma de la campana de Gauss, no tiene ninguna primitiva que se pueda escribir con funciones elementales, como demostró Joseph Liouville en el siglo XIX. Su integral existe, pero para calcularla hay que volver a las sumas. Es el cuarto ejemplo de la figura: el área entre $-2$ y $2$ vale 1,76416…, y los métodos numéricos la encuentran con muchos decimales en unas pocas decenas de trapecios. Las tablas de la distribución normal que se usan en estadística se construyeron así, y los programas de cálculo siguen usando variantes refinadas de estas sumas, como la regla de Simpson, cuyo error cae con la cuarta potencia del ancho.

La integral de Riemann tiene límites. La función que vale 1 en los números racionales y 0 en los irracionales, propuesta por Peter Gustav Lejeune Dirichlet, no es integrable en su sentido: en cualquier tramo, por pequeño que sea, hay puntos donde vale 1 y puntos donde vale 0, así que las sumas por arriba valen siempre la longitud del intervalo y las de por abajo, cero. En 1902 Henri Lebesgue propuso en su tesis una integral más general, que en lugar de partir el eje horizontal en tramos parte el eje vertical en franjas y mide el tamaño de los conjuntos de puntos donde la función cae en cada franja. Con ella la función de Dirichlet tiene integral 0, porque los racionales ocupan un espacio nulo. La integral de Lebesgue es la que usan hoy la teoría de la probabilidad y el análisis moderno. David Bressoud contó en 2007 cómo las paradojas de las series de Fourier obligaron a construir, paso a paso, las dos integrales. Para cualquier función que aparezca en un problema de física o de ingeniería, las dos dan el mismo resultado, y la de Riemann es la que se puede dibujar.