El número e

El número e es una constante matemática que vale aproximadamente 2,71828 y que aparece en todas partes donde algo crece o decrece en proporción a lo que ya hay: el dinero con interés compuesto, una población de bacterias, la desintegración de un material radiactivo o el enfriamiento de una taza de café. Es la base de los logaritmos naturales y la única base para la que la función exponencial es igual a su propia derivada. Como $\pi$, es un número irracional, con infinitas cifras decimales que no se repiten, y trascendente: no es solución de ninguna ecuación con coeficientes enteros. Pero, a diferencia de $\pi$, que viene de la geometría, $e$ viene de una pregunta sobre dinero.

La pregunta la planteó Jakob Bernoulli en 1683 y la publicó en 1690. Si un banco paga un interés del cien por cien al año, un euro se convierte en dos euros al cabo del año. Si en lugar de eso paga el cincuenta por ciento cada seis meses, el interés del primer semestre se suma al capital y produce a su vez intereses en el segundo: al final hay $1{,}5^2 = 2{,}25$ euros. Con el 25 por ciento cada trimestre, $1{,}25^4 \approx 2{,}44$. Repartiendo el interés en $n$ plazos iguales, el euro se convierte en

euros. Cuanto más frecuente es la capitalización, más se gana, porque los intereses empiezan a producir intereses antes. La pregunta de Bernoulli era si esa ganancia crece sin límite o si se detiene en algún sitio. Bernoulli demostró que la cantidad queda siempre entre 2 y 3. El límite al que se acerca cuando $n$ crece sin fin es precisamente $e$.

La figura muestra lo deprisa que se agota la ganancia. Con capitalización mensual el euro se convierte en 2,6130 euros; con capitalización diaria, en 2,7146; cada hora, en 2,71813. Pasar de mensual a diaria añade diez céntimos; pasar de diaria a cada hora, menos de medio céntimo. El límite, la capitalización continua, da exactamente $e = 2{,}71828\ldots$ euros, y ninguna frecuencia de pago, por alta que sea, lo supera. Con un tipo de interés $r$ distinto del cien por cien el razonamiento es el mismo y el techo es $e^r$: un 5 por ciento anual capitalizado de forma continua equivale a un 5,127 por ciento con un solo pago al año. Los bancos y los mercados financieros usan esta fórmula a diario para comparar tipos de interés con periodos distintos.

El nombre y la notación son de Leonhard Euler. Lo usó por primera vez en una carta de 1731 y en un libro impreso en 1736, y en su Introducción al análisis de los infinitos, de 1748, dio su valor con veintitrés decimales y lo relacionó con todo lo demás. Allí aparece la serie que hoy es la forma más rápida de calcularlo:

donde $n!$ es el factorial de $n$. Como los factoriales crecen muy deprisa, los términos se hacen diminutos enseguida: sumando solo hasta $1/10!$ se obtienen ya siete decimales correctos. La serie sale de desarrollar $(1 + 1/n)^n$ con el binomio de Newton y dejar crecer $n$. Euler demostró en 1737 que $e$ es irracional, y Charles Hermite demostró en 1873 que es trascendente, nueve años antes de que se consiguiera lo mismo para $\pi$.

La razón por la que $e$ está en todas partes es una propiedad de la función $e^x$: su ritmo de crecimiento en cada instante es igual a su valor. En términos de derivadas, la derivada de $e^x$ es $e^x$. Cualquier cantidad que crece en proporción a lo que ya hay, sin saltos, sigue esa ley: si un cultivo de bacterias se duplica cada hora, su tamaño en cualquier instante es una exponencial, y lo natural es escribirla en base $e$. Lo mismo vale para lo que decrece en proporción a lo que queda, como los átomos de una muestra radiactiva o la temperatura de un objeto que se enfría. Otras bases sirven igual, pero obligan a arrastrar un factor de conversión en cada cálculo; con base $e$ ese factor vale 1. Por eso el logaritmo en base $e$ se llama natural, y por eso el área bajo la curva $1/x$ entre 1 y $e$ es exactamente 1, como se ve al calcular la integral.

El número aparece también en problemas de azar donde nadie lo espera. Si se reparten al azar $n$ sombreros entre sus $n$ dueños, la probabilidad de que nadie reciba el suyo tiende a $1/e$, un 36,8 por ciento, sea cual sea $n$ a partir de unos pocos. En el llamado problema de la secretaria, en el que hay que elegir al mejor candidato de una serie viéndolos uno a uno y sin poder volver atrás, la estrategia óptima es dejar pasar el primer 36,8 por ciento, apuntar el mejor de ellos y quedarse con el primero que lo supere; acierta con probabilidad $1/e$. Las distribuciones que describen los tiempos de espera y el número de sucesos en un intervalo, la exponencial y la de Poisson, están escritas con $e$, y la campana de Gauss es una exponencial de un cuadrado.

Hay quien atribuye el descubrimiento a John Napier, el inventor de los logaritmos, porque sus tablas de 1614 están emparentadas con $1/e$. Pero Napier no pensó en ningún número concreto como base, y la constante no se identificó como tal hasta el trabajo de Bernoulli y el de Euler. La historia completa, contada por Eli Maor en un libro de 1994 que sigue siendo la referencia, muestra que $e$ no se descubrió en un momento, sino que fue apareciendo en problemas distintos, el interés, las áreas bajo la hipérbola, las tablas de logaritmos, hasta que Euler vio que todos hablaban del mismo número.