El teorema de los números primos

El teorema de los números primos dice cuántos primos hay, aproximadamente, por debajo de un número dado. Si se llama $\pi(x)$ a la cantidad de primos menores o iguales que $x$, el teorema afirma que

donde $\ln$ es el logaritmo natural y el símbolo $\sim$ significa que el cociente entre los dos lados tiende a 1 cuando $x$ crece. Dicho de otra forma: cerca de un número $x$, la proporción de primos es aproximadamente $1/\ln x$. Entre los números de tres cifras, uno de cada seis es primo; entre los de cien cifras, uno de cada 230. Los primos no se acaban nunca, como ya demostró Euclides, pero se van enrareciendo, y lo hacen a un ritmo que se puede escribir con una fórmula sencilla. Que los números primos, cuya aparición uno a uno parece caprichosa, obedezcan en conjunto una ley tan regular es uno de los hechos más sorprendentes de las matemáticas.

La ley se descubrió mirando tablas. Carl Friedrich Gauss contaba en una carta de 1849 que hacia 1792, con quince años, había empezado a contar primos por bloques de mil en las tablas de su época, y que había notado que su densidad cerca de $x$ era más o menos $1/\ln x$. Adrien-Marie Legendre publicó en 1798 una fórmula del mismo tipo, $x/(\ln x - 1{,}08366)$, ajustada a mano a los datos. Ninguno de los dos pudo demostrarla. En la década de 1850 Pafnuti Chebyshev consiguió acotarla: probó que, para $x$ grande, $\pi(x)$ queda entre un 92 y un 111 por ciento de $x/\ln x$, y que, si el cociente tiene un límite, ese límite es exactamente 1. Faltaba demostrar que el límite existe.

El paso decisivo lo dio Bernhard Riemann en 1859, en el único artículo que escribió sobre teoría de números, de ocho páginas. Riemann mostró que el reparto de los primos está gobernado por una función de variable compleja, la que hoy se llama función zeta de Riemann, $\zeta(s)$, y más concretamente por los puntos donde esa función vale cero. Dio una fórmula exacta para $\pi(x)$ en términos de esos ceros, pero dejó sin demostrar varios pasos, entre ellos la conjetura de que todos los ceros no triviales tienen parte real igual a $1/2$: la hipótesis de Riemann, que sigue abierta. En 1896, Jacques Hadamard y Charles-Jean de la Vallée Poussin demostraron, cada uno por su lado y el mismo año, lo que hacía falta para el teorema de los números primos: que la función zeta no tiene ceros sobre la recta de parte real 1. Con eso el cociente $\pi(x)/(x/\ln x)$ tiende a 1.

La figura deja ver una cosa que los enunciados suelen esconder: la aproximación $x/\ln x$ es mala. Se queda corta siempre, y con un error relativo que disminuye con una lentitud desesperante. Hasta mil hay 168 primos y la fórmula da 145, un 14 por ciento menos. Hasta un millón hay 78.498 y la fórmula da 72.382, todavía un 8 por ciento menos. El cociente tiende a 1, pero en un millón vale 1,084. Gauss ya había propuesto algo mejor: si la densidad cerca de $t$ es $1/\ln t$, el número de primos hasta $x$ debería ser la suma de esas densidades, es decir, la integral

llamada logaritmo integral. Hasta un millón, $\mathrm{Li}(x)$ da 78.627, un error de unos 130 sobre 78.498, menos de dos décimas por ciento. Las dos fórmulas son equivalentes para el teorema, porque su cociente tiende a 1, pero $\mathrm{Li}(x)$ acierta muchísimo más. En 1977 Don Zagier dedicó un célebre artículo divulgativo a mostrar con gráficas de los primeros cincuenta millones de primos lo bien que la sigue $\pi(x)$.

La pregunta natural es cuánto se aleja $\pi(x)$ de $\mathrm{Li}(x)$, y ahí vuelve Riemann. En 1901 Helge von Koch demostró que la hipótesis de Riemann equivale a que el error sea del orden de $\sqrt{x}\,\ln x$: es decir, que los primos se desvíen de la ley media lo mínimo posible, como lo haría una sucesión de lanzamientos de moneda. Si la hipótesis es falsa, hay tramos de números donde los primos se amontonan o escasean más de lo que el azar explicaría. Por eso el problema abierto más famoso de las matemáticas es, en el fondo, una pregunta sobre lo irregular que es la escalera de la figura.

Hay otra sorpresa escondida en la comparación. En todos los valores de $x$ que se han podido calcular, $\mathrm{Li}(x)$ es mayor que $\pi(x)$, y durante mucho tiempo se pensó que siempre sería así. En 1914 John Edensor Littlewood demostró lo contrario: la diferencia cambia de signo infinitas veces. El primer cruce está en algún lugar tan lejano que ningún cálculo directo lo ha alcanzado; las primeras cotas, debidas a Stanley Skewes, eran números tan grandes que se hicieron famosos solo por su tamaño. Es un ejemplo clásico de por qué en teoría de números la evidencia numérica, por abundante que sea, no demuestra nada.

A mediados del siglo XX se buscó una demostración que no usara números complejos. La encontraron Atle Selberg y Paul Erdős en 1949, y se llamó «elemental» porque solo usaba propiedades de los enteros, aunque es más difícil que la analítica. En 1980 Donald Newman publicó una demostración analítica muy corta, que Zagier dejó en 1997 en cuatro páginas de una revista de divulgación. El teorema ha pasado de ser la cumbre de un siglo de trabajo a poder explicarse en un curso de análisis complejo.

El teorema tiene consecuencias prácticas inmediatas. Dice que el primo número $n$ vale aproximadamente $n \ln n$, y que un número de 300 cifras escogido al azar es primo con una probabilidad de uno entre 690. Por eso generar las claves de la criptografía de clave pública es rápido: basta probar números impares al azar hasta dar con un primo, y en unos cientos de intentos aparece. La criba de Eratóstenes sirve para contar primos pequeños y comprobar la ley; el teorema dice lo que se encontrará más allá de donde llega cualquier criba.