La derivada

La derivada de una función en un punto es la rapidez con la que cambia la función en ese punto. Si $f(t)$ es la posición de un coche en el instante $t$, su derivada es la velocidad que marca el velocímetro en ese instante; si $f(x)$ es el coste de producir $x$ unidades, su derivada es lo que cuesta producir una más. Geométricamente, es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto: la inclinación que tendría la curva si se la mirara con un microscopio tan potente que pareciera recta. Es el concepto central del cálculo diferencial y una de las ideas más productivas de la historia de la ciencia, porque convierte en cuentas cualquier pregunta sobre cómo cambian las cosas.

La dificultad está en que la rapidez de cambio en un instante no se puede medir directamente. Lo que sí se puede medir es el cambio medio en un intervalo: si el coche recorre 90 kilómetros en una hora, su velocidad media ha sido de 90 kilómetros por hora, aunque en algunos momentos fuera más deprisa y en otros más despacio. Esa velocidad media es la tasa de variación media, y geométricamente es la pendiente de la recta secante que une dos puntos de la gráfica, el de partida y el de llegada. Para una función $f$, entre $x_0$ y $x_0 + h$, esa pendiente es

La derivada se obtiene haciendo el intervalo cada vez más pequeño. Cuando $h$ se acerca a cero, el segundo punto se desliza por la curva hacia el primero y la secante gira hasta coincidir con la tangente. La derivada es el valor al que se acercan esas pendientes:

Con $f(x) = x^2$ la cuenta se puede hacer entera. La pendiente de la secante es $((x_0 + h)^2 - x_0^2)/h = 2x_0 + h$, así que se diferencia de $2x_0$ exactamente en $h$, y cuando $h$ tiende a cero la pendiente tiende a $2x_0$. La derivada de $x^2$ es $2x$: en $x = 1$ la parábola sube con pendiente 2, en $x = 0$ está plana, en $x = -1$ baja con pendiente $-2$. La figura lo muestra con los números: con $h = 1$ la secante tiene pendiente 3, con $h = 0{,}1$ pendiente 2,1, con $h = 0{,}001$ pendiente 2,001. La curva de abajo, la derivada, es una recta, y cruza el cero justo donde la parábola tiene su mínimo.

Esa última observación es la aplicación más antigua de la idea. En un máximo o un mínimo de una función suave, la tangente es horizontal y la derivada vale cero. Pierre de Fermat usaba hacia 1636 un método para encontrar máximos que consistía, en esencia, en esto. El cálculo como sistema lo construyeron por separado Isaac Newton, que desde 1665 hablaba de «fluxiones», velocidades de cantidades que fluyen, y Gottfried Wilhelm Leibniz, que publicó primero, en 1684, un breve artículo titulado Nuevo método para los máximos y los mínimos, y también para las tangentes. La notación de Leibniz, $dy/dx$, un cociente de dos cambios infinitamente pequeños, es la que se sigue usando, y la disputa sobre quién había llegado antes envenenó durante décadas las relaciones entre los matemáticos ingleses y los del continente.

El cálculo funcionaba, pero nadie sabía explicar bien por qué. Los infinitesimales de Leibniz eran cantidades más pequeñas que cualquier número positivo pero distintas de cero, que se usaban para dividir y luego se despreciaban como si fueran nulas. En 1734 el obispo George Berkeley publicó El analista, un ataque demoledor: si el incremento es cero, no se puede dividir por él; si no es cero, no se puede tirar al final. Llamó a los infinitesimales «fantasmas de cantidades difuntas» y se preguntó con qué derecho los matemáticos, que exigían fe ciega a sus propios misterios, criticaban los de la religión. La objeción era correcta, y tardó casi un siglo en responderse.

La respuesta vino con el concepto de límite. Augustin-Louis Cauchy, en sus lecciones de la Escuela Politécnica de París de 1821 y 1823, definió la derivada como el límite de las pendientes de las secantes, que es exactamente lo que hace la figura: no hay ninguna cantidad infinitamente pequeña, solo cocientes corrientes con $h$ distinto de cero y un valor al que se acercan tanto como se quiera. Karl Weierstrass dio unas décadas después la forma precisa, con las letras $\varepsilon$ y $\delta$ que atormentan a los estudiantes de primer curso. Judith Grabiner mostró en 1983 que Cauchy no inventó esas técnicas de la nada, sino que las tomó de las desigualdades con que los matemáticos del siglo XVIII acotaban los errores de sus aproximaciones y les dio un uso nuevo: convertirlas en definiciones.

Con la definición precisa llegó también la posibilidad de ver dónde falla. La función valor absoluto, $|x|$, es continua pero tiene un pico en el cero. Por la derecha, todas las secantes tienen pendiente 1; por la izquierda, todas tienen pendiente $-1$. Por pequeño que sea $h$, los dos lados no se ponen de acuerdo, el límite no existe, y la función no tiene derivada en ese punto. En 1872 Weierstrass presentó algo mucho más extraño: una función continua que no tiene derivada en ningún punto, una curva hecha enteramente de picos, que se sigue quebrando por mucho que se amplíe. Fue un escándalo para quienes pensaban que la continuidad garantizaba la suavidad, y hoy se reconoce como un antecedente de los fractales.

La derivada se ha convertido en una herramienta cotidiana. Las leyes de la física se escriben como ecuaciones entre una cantidad y sus derivadas: la segunda ley de Newton dice que la fuerza es la masa por la derivada de la velocidad. El crecimiento de una población en proporción a su tamaño lleva directamente a la función exponencial, la única cuya derivada es ella misma, y con ella al número e. Los algoritmos que entrenan las redes neuronales calculan derivadas de millones de variables para saber hacia dónde mover cada parámetro, que es lo que hace el descenso de gradiente, y el método de Newton usa la tangente para encontrar raíces de ecuaciones. La operación inversa, reconstruir una función a partir de su ritmo de cambio, es la integral, y el teorema fundamental del cálculo dice que las dos operaciones se deshacen una a la otra.