Las series de Fourier

Una serie de Fourier es la forma de escribir una función periódica, una que se repite igual cada cierto intervalo, como una suma de senos y cosenos de frecuencias cada vez más altas. La afirmación de fondo, que en su momento pareció absurda, es que casi cualquier forma periódica, incluso una con esquinas y saltos, se puede construir superponiendo ondas perfectamente suaves. Una onda cuadrada, que salta de golpe de $-1$ a $1$ y se queda plana, es la suma

Cada término es un armónico: una onda cuya frecuencia es un múltiplo entero de la fundamental, con una amplitud determinada. Descomponer una señal en sus armónicos, y saber cuánto pesa cada uno, es lo que se llama análisis de Fourier, y está detrás de casi todo el tratamiento moderno del sonido, la imagen y las telecomunicaciones.

La idea la presentó Joseph Fourier en 1807, en una memoria sobre cómo se propaga el calor en un cuerpo sólido. Para resolver la ecuación que gobierna la temperatura, Fourier descompuso la distribución inicial de calor en ondas sinusoidales, porque para cada una de ellas la solución es sencilla: la onda se va aplanando sin cambiar de forma, y las de frecuencia más alta se aplanan antes. Sumando las soluciones de cada onda se obtiene la de la distribución completa. El jurado de la Academia de Ciencias de París, con Joseph-Louis Lagrange a la cabeza, recibió mal la afirmación de que cualquier función, incluso una discontinua, se pudiera escribir así, y la memoria no se publicó. Fourier siguió trabajando y en 1822 publicó su Teoría analítica del calor, uno de los libros más influyentes de la física matemática.

La figura muestra la construcción en marcha. Con un solo armónico, la onda cuadrada se aproxima con una simple sinusoide que sube a 1,27. Con el tercero, la cima se aplana y los flancos se empinan. Con cinco, la suma ya tiene la forma de la onda, con cinco ondulaciones en cada escalón. Con sesenta, es casi indistinguible, salvo en un detalle. Junto a cada salto, la suma rebasa el valor de la onda y forma un pico que no desaparece. Con más armónicos el pico se estrecha y se pega al salto, pero su altura no baja: tiende a sobrepasar el escalón en un 9 por ciento del tamaño del salto, 1,179 en lugar de 1. Es el fenómeno de Gibbs.

El fenómeno tiene una historia curiosa. En 1898 el físico Albert Michelson construyó con Samuel Stratton un analizador armónico mecánico que sumaba hasta ochenta términos de una serie de Fourier con resortes y palancas y dibujaba el resultado. Al reconstruir una onda cuadrada apareció el rebote, y Michelson escribió a la revista Nature dudando de que una suma de funciones suaves pudiera converger a una función con saltos. Josiah Willard Gibbs respondió en 1898 y 1899 con dos cartas que explicaban que el rebote es real y no un defecto de la máquina: la serie converge punto por punto a la onda, pero no de manera uniforme, y el máximo de cada suma parcial se desplaza hacia el salto sin menguar. En 1979 Edwin y Robert Hewitt mostraron que Henry Wilbraham ya lo había descrito y calculado en 1848, medio siglo antes, en un artículo que nadie leyó.

La onda triangular de la figura no tiene saltos, solo esquinas, y el comportamiento es muy distinto. Sus amplitudes caen con el cuadrado de la frecuencia, no con la frecuencia, así que los armónicos altos pesan muchísimo menos y la suma se ajusta enseguida, sin rebote. La regla general es que cuanto más suave es una función, más deprisa decaen sus coeficientes de Fourier y menos armónicos hacen falta para reproducirla. Un salto exige infinitos armónicos con amplitudes que decaen despacio; una esquina, menos; una curva sin esquinas, muy pocos. Esa relación entre la regularidad de una forma y el reparto de sus frecuencias es la herramienta más útil del análisis de Fourier.

Las series de Fourier obligaron a repensar los fundamentos del análisis. Peter Gustav Lejeune Dirichlet dio en 1829 las primeras condiciones rigurosas para que la serie converja. Bernhard Riemann definió su integral en 1854 precisamente para calcular los coeficientes de funciones muy irregulares. Georg Cantor, estudiando en qué conjuntos de puntos podía fallar la convergencia, acabó inventando la teoría de conjuntos. Y la pregunta de si la serie de una función continua converge siempre tuvo una respuesta negativa en 1873, cuando Paul du Bois-Reymond construyó una cuya serie diverge en un punto, y una positiva casi completa en 1966, cuando Lennart Carleson demostró que converge en todos los puntos salvo en un conjunto de medida nula.

El análisis de Fourier está en todas partes porque el oído y muchos sistemas físicos funcionan por frecuencias. El timbre de un instrumento es el reparto de amplitudes entre sus armónicos: un clarinete refuerza los impares, como la onda cuadrada, y por eso suena hueco. Los formatos de compresión de sonido e imagen se basan en la misma idea. El MP3 divide el sonido en tramos cortos, calcula sus frecuencias y descarta las que el oído no percibe; el JPEG hace lo mismo con bloques de ocho por ocho píxeles, con una variante llamada transformada del coseno, y guarda con menos precisión los detalles finos, a los que la vista es menos sensible.

Todo eso sería impracticable sin el algoritmo que calcula los coeficientes deprisa. Para una señal de $n$ muestras, el cálculo directo necesita del orden de $n^2$ operaciones. En 1965 James Cooley y John Tukey publicaron la transformada rápida de Fourier, que lo hace en del orden de $n \log n$: para un millón de muestras, la diferencia entre un billón de operaciones y unos veinte millones. Después se supo que Carl Friedrich Gauss había usado la misma idea hacia 1805, para interpolar las órbitas de los asteroides, en un manuscrito que no se publicó en vida. La transformada rápida está en los teléfonos, en las resonancias magnéticas, en las redes de telefonía y en cualquier programa que manipule sonido. Es, probablemente, el algoritmo numérico más ejecutado del mundo, y todo empezó con una pregunta sobre cómo se enfría una barra de hierro.