El conjunto de Mandelbrot

El conjunto de Mandelbrot es una figura del plano de los números complejos definida por una regla de una sola línea: se toma un número complejo $c$, se empieza en $z = 0$ y se aplica una y otra vez la operación

Si la sucesión de valores que se obtiene se mantiene acotada, sin alejarse nunca demasiado del origen, el punto $c$ pertenece al conjunto. Si se escapa hacia el infinito, no pertenece. Dibujado, el conjunto es una silueta negra con forma de corazón y una cadena de círculos, erizada de brotes, ramas y espirales, y su borde es tan complicado que cualquier ampliación descubre estructuras nuevas, entre ellas copias diminutas de la figura entera. Se ha llamado muchas veces el objeto más complicado de las matemáticas, y sale de una fórmula que cabe en una servilleta.

Para entenderlo hace falta recordar que un número complejo es un punto del plano: $c = a + bi$ tiene coordenada horizontal $a$ y vertical $b$, y elevarlo al cuadrado equivale a duplicar su ángulo con el eje horizontal y elevar al cuadrado su distancia al origen. Con $c = 0$ la sucesión se queda en 0 y el punto está dentro. Con $c = 1$ la sucesión es 0, 1, 2, 5, 26, 677… y se escapa: fuera. Con $c = -1$ oscila para siempre entre 0 y $-1$: dentro. Con $c = i$ entra en un ciclo entre $-1 + i$ y $-i$: dentro, en el borde. Hay un criterio que ahorra trabajo: si en algún momento la distancia de $z$ al origen supera 2, la sucesión se escapará con seguridad. Por eso todo el conjunto está dentro del círculo de radio 2, y para dibujarlo basta con iterar cada punto hasta que salga de ese círculo o hasta agotar un número máximo de pasos.

La figura se colorea precisamente con ese recuento. Los puntos del conjunto, cuyas órbitas no escapan en el número de pasos fijado, van en negro. Los de fuera se pintan según los pasos que tardaron en salir del círculo de radio 2: los que escapan en uno o dos pasos, lejos del conjunto, quedan pálidos, y los que tardan decenas o cientos, muy cerca del borde, se encienden. El resultado muestra la estructura del exterior, que es donde está toda la belleza de las imágenes. En modo órbita se ve el mecanismo: dentro del corazón principal la órbita cae en espiral hacia un punto fijo; en el círculo grande de la izquierda salta entre dos puntos; en los brotes más pequeños recorre ciclos de tres, cuatro o cinco puntos; fuera, tras un baile más o menos largo, sale disparada.

Las funciones de este tipo ya las habían estudiado a fondo, sin ordenadores, Pierre Fatou y Gaston Julia en 1917 y 1918. Para cada valor de $c$ definieron lo que hoy se llama el conjunto de Julia, la frontera entre los puntos de partida que se escapan y los que no, y descubrieron que esos conjuntos podían ser figuras de enorme complejidad. También vieron que hay dos clases: los que forman una sola pieza y los que se deshacen en polvo. El conjunto de Mandelbrot es exactamente el catálogo de los valores de $c$ cuyo conjunto de Julia es de una sola pieza. Fatou y Julia no podían dibujar nada de eso.

Las primeras imágenes llegaron con los ordenadores. Robert Brooks y Peter Matelski publicaron en 1981 una impresión tosca, hecha con caracteres de una impresora, en un trabajo sobre grupos de transformaciones. Benoit Mandelbrot, que trabajaba en el centro de investigación de IBM en Nueva York y llevaba años estudiando las formas irregulares a las que llamó fractales, publicó en 1980 un estudio de la iteración con imágenes cada vez más detalladas, y se dio cuenta de que las pequeñas manchas que aparecían separadas del cuerpo principal eran copias de la figura completa. En 1982 Adrien Douady y John Hubbard demostraron que el conjunto es conexo, de una sola pieza, a pesar de que las imágenes sugerían islas sueltas: todas están unidas al cuerpo principal por filamentos demasiado finos para verse. Fueron ellos quienes le pusieron el nombre de Mandelbrot. La figura se hizo famosa en 1985, cuando la revista Scientific American explicó cómo dibujarla en un ordenador personal, y en 1986 Heinz-Otto Peitgen y Peter Richter publicaron La belleza de los fractales, cuyas láminas en color la convirtieron en un icono.

Algunas partes del conjunto se pueden describir con exactitud. El corazón principal, llamado cardioide, es la región de los $c$ para los que la órbita cae hacia un punto fijo, y tiene una ecuación explícita. El círculo grande de la izquierda, centrado en $-1$ y de radio $1/4$, es la región de los ciclos de periodo 2. Cada brote que sale directamente de la cardioide tiene su propio periodo, y el número de ramas de la antena que remata el brote coincide con él. Otras propiedades se conocen solo por aproximación: el área del conjunto es aproximadamente 1,506, calculada contando píxeles con enorme precisión, pero no se conoce ninguna fórmula para ella. En 1998 Mitsuhiro Shishikura demostró que el borde tiene dimensión de Hausdorff 2: es una curva tan retorcida que, en ese sentido, ocupa tanto como una superficie. Y la conjetura de que el conjunto es localmente conexo, que implicaría una descripción completa de su estructura, sigue abierta.

El conjunto guarda también una sorpresa numérica. En el cuello que une la cardioide con el círculo de la izquierda, en $c = -0{,}75$, la órbita tarda cada vez más en escapar a medida que uno se acerca desde arriba. Si se toma $c = -0{,}75 + \varepsilon i$ y se cuenta el número de pasos $N$ que tarda en salir del círculo de radio 2, el producto $N \cdot \varepsilon$ tiende a $\pi$: con $\varepsilon = 0{,}1$ son 33 pasos, con 0,01 son 315 y con 0,001, 3.143. El punto de partida de la figura es precisamente $c = -0{,}75 + 0{,}1i$. Lo encontró por casualidad en 1991 un estudiante, Dave Boll, cuando intentaba demostrar que el cuello tenía grosor cero, y Aaron Klebanoff lo demostró en 2001.

El conjunto de Mandelbrot se ha convertido en un laboratorio para los sistemas dinámicos, las reglas que se aplican una y otra vez, y en una lección sobre lo poco que dice la sencillez de una regla acerca de la complejidad de su resultado. Es la misma lección que dan, por otros caminos, la conjetura de Collatz, en la que una regla aritmética trivial produce trayectorias imprevisibles, y las zonas de atracción del método de Newton en el plano complejo, que dibujan fractales emparentados con este. Las funciones sin derivada en ningún punto que horrorizaron a los matemáticos del siglo XIX, las que se comentan al hablar de la derivada, resultaron ser la norma en este mundo, no la excepción.