El método de Newton

El método de Newton, o de Newton-Raphson, es un procedimiento para encontrar las raíces de una ecuación, los valores de $x$ para los que una función $f(x)$ vale cero, cuando no hay fórmula que las dé directamente. Parte de una estimación cualquiera y la mejora paso a paso con una idea geométrica: en el punto de la curva que corresponde a la estimación se traza la recta tangente, y donde esa recta corta el eje horizontal está la estimación siguiente. Como la tangente es la mejor aproximación recta a la curva cerca del punto, su corte con el eje suele estar mucho más cerca de la raíz que el punto de partida. En fórmulas, cada paso es

donde $f'$ es la derivada de la función, la pendiente de la tangente. Cuando funciona, funciona asombrosamente bien. Cuando falla, lo hace de maneras que han dado lugar a una rama entera de las matemáticas.

El ejemplo clásico es calcular $\sqrt{2}$, que es la raíz positiva de $f(x) = x^2 - 2$. La fórmula de Newton para esta función queda $x_{n+1} = (x_n + 2/x_n)/2$: la media entre la estimación y 2 dividido por ella. Empezando en $x_0 = 2$, el primer paso da 1,5; el segundo, 1,41667; el tercero, 1,4142157; el cuarto, 1,41421356237469. El valor verdadero es 1,41421356237310. Los decimales correctos pasan de ninguno a dos, a cinco, a once: se duplican aproximadamente en cada paso. Es lo que se llama convergencia cuadrática, porque el error de cada paso es proporcional al cuadrado del error del anterior. Cinco pasos bastan para agotar la precisión de un ordenador.

Esa fórmula para la raíz cuadrada es mucho más antigua que Newton. Se atribuye a Herón de Alejandría, que la describe en el siglo I, y los escribas de Babilonia ya usaban algo equivalente: la tablilla YBC 7289, de hace unos 3.800 años, da $\sqrt{2}$ como 1;24,51,10 en su sistema de base sesenta, que equivale a 1,41421296, un error de seis diezmillonésimas. Isaac Newton describió en 1669, en un manuscrito que no se imprimió hasta 1711, un método para resolver la ecuación $x^3 - 2x - 5 = 0$ que se parece al actual, aunque lo formulaba como una sucesión de cambios de variable en polinomios y no con derivadas. Joseph Raphson publicó en 1690 una versión más sencilla y directa, que calcula cada nueva estimación a partir de la anterior. Tjalling Ypma, que reconstruyó en 1995 la historia del método, mostró que la fórmula tal como se escribe hoy, válida para cualquier función derivable, no aparece hasta Thomas Simpson en 1740. El nombre de Newton-Raphson es un compromiso con esa historia.

La razón de la velocidad es la misma idea que la de la tangente. Cerca de la raíz, una función suave se parece mucho a su tangente, y el error que se comete al sustituir la curva por la recta es proporcional al cuadrado de la distancia. Si una estimación está a una centésima de la raíz, la siguiente estará a algo del orden de una diezmilésima, y la siguiente a una cienmillonésima. Por eso el método de Newton es la base de cómo los ordenadores calculan raíces cuadradas, divisiones e inversas: en lugar de un procedimiento largo, se parte de una estimación aproximada, sacada a veces de una tabla, y se aplican uno o dos pasos. Un caso famoso es el del videojuego Quake III, de 1999, que calculaba el inverso de una raíz cuadrada con un truco sobre la representación binaria de los números seguido de un único paso de Newton.

El método tiene condiciones, y la figura deja ver lo que ocurre cuando no se cumplen. Si la tangente es horizontal, su corte con el eje está en el infinito y el método se rompe: por eso falla cerca de los máximos y mínimos. Con $f(x) = x^3 - 2x + 2$, empezando en 0, la tangente lleva al 1 y la tangente en el 1 devuelve al 0, y el método se queda dando vueltas para siempre sin acercarse a la única raíz, que está en $-1{,}769$. Con la raíz cúbica, $f(x) = \sqrt[3]{x}$, la situación es aún peor: cada paso lleva el punto al doble de distancia al otro lado del cero, y la sucesión se aleja sin fin de una raíz que está justo en medio. El método de Newton garantiza la convergencia rápida solo cuando se empieza lo bastante cerca de una raíz y la función es suave allí; fuera de esa zona, puede hacer cualquier cosa.

En 1879 Arthur Cayley se hizo una pregunta que parecía modesta: si se aplica el método a una ecuación con varias raíces, trabajando con números complejos, ¿hacia qué raíz irá cada punto de partida? Para las ecuaciones de segundo grado la respuesta es sencilla: cada punto va a la raíz que tiene más cerca, y la frontera entre las dos zonas es una recta. Para las de tercer grado, Cayley reconoció que el problema era difícil y lo dejó abierto. Un siglo después, cuando los ordenadores permitieron dibujarlo, se vio por qué: las fronteras entre las zonas de atracción de las tres raíces son fractales, y en cualquier punto de la frontera entre dos zonas se tocan las tres. Esas imágenes, llamadas fractales de Newton, son parientes directos del conjunto de Mandelbrot.

El método se usa también para encontrar mínimos. Minimizar una función equivale a encontrar una raíz de su derivada, y el método de Newton aplicado a la derivada usa la curvatura de la función para saber cuánto avanzar. En optimización, esa es la diferencia con el descenso de gradiente, que solo mira la pendiente y avanza a pasos de tamaño fijo: Newton llega en muchos menos pasos, pero cada uno exige calcular la curvatura, que con millones de variables es carísimo. Buena parte de los métodos de optimización modernos son intentos de quedarse con la velocidad de Newton sin pagar ese precio. Más de tres siglos después de Raphson, la idea de sustituir la curva por su tangente y resolver la ecuación de la recta sigue siendo una de las herramientas de cálculo más usadas del mundo.