Distribución uniforme continua

Imagen: En una distribución uniforme continua, la probabilidad de que valor aleatorio resultante se encuentre en un intervalo c,d es el área rosada: (c-d)/(b-a). Todos los intervalos de igual longitud tienen la misma probabilidad. 

La distribución uniforme continua es una distribución de probabilidad continua relativa a un valor que ocurre de forma totalmente aleatoria, sin mayor o menor probabilidad que otro valor, dentro de un intervalo (a,b) de posibles valores. De esta forma, la probabilidad de intervalos diferentes pero igual longitud L es siempre la misma, más exactamente L/(b-a). Por ejemplo, en una distribución uniforme continua en el intervalo 0-10, la probabilidad de el valor resultante se encuentre entre 2 y 5 es (5-2)/(10-0)=0.3. Como en toda distribución continua, la probabilidad de obtener un valor puntual es matemáticamente 0 (intuitivamente se podría justificar diciendo que un punto no tiene extensión o que en el intervalo (a,b) hay infinitos puntos), aunque generalmente pueda realizarse una aproximación discreta.

La distribución uniforme continua se aplica para modelizar los números aleatorios en un intervalo concreto. Se utiliza también en los casos que exista equiprobabilidad para todos los valores dentro de intervalo y  en los casos en los que existe total incertidumbre sobre cuales son los valores más probables de una variable, de forma que lo más adecuado es asignar la misma probabilidad a todos los posibles valores; en este sentido, como distribución de incertidumbre total o con información nula, la distribución uniforme continua es habitual en estadística bayesiana como distribución a priori. 

Formalmente, se dice que una variable aleatoria sigue una distribución uniforme continua entre a y b cuando le corresponde la siguiente función de densidad:

$$f_X(x)=\cfrac{1}{b-a}\ ; \ a <\leq x \leq b$$

A dicha función de densidad le corresponde esta función de distribución:

$$F(x)=P(X\le x)=P(a\le X\le x)=\frac{x-a}{b-a}$$

A conotuación, mostramos la notación abreviada de una distribución uniforme continua con parámetros a y b y su esperanza y varianza. Nótese que la esperanza se encuentra exactamente en el punto medio entre ay b, al tratarse de una distribución simétrica:

$$ X \sim U(a,b) : \begin{cases}
  \mu=\cfrac{a+b}{2} \\[8pt]
 \sigma^2=\cfrac{(b-a)^2}{12}
  \end{cases}$$

Ejemplo

Se ha estimado que las ventas de los sábados en un establecimiento comercial se sitúan entre 1.000 y 2.000 euros, sin que pueda afirmarse que existe un intervalo con mayor o menor probabilidad. Definir el modelo de probabilidad más adecuado para dichas ventas, calcular la probabilidad de que las ventas sean superiores a 1.800 euros y calcular la esperanza y la varianza de dichas ventas, siempre de acuerdo al modelo establecido. 

Dado que todos los valores de ventas se consideran equiprobables, el modelo de probabilidad más adecuado en este es una distribución unifomre continua entre 1.000 y 2.000:

$$X:\text{ventas sabatinas} \sim U(1000,2000)$$

La probabilidad de que las ventas de un sábado se encuentren entre 1.800 y 2.000 puede calcularse a través de tanto la función de densidad como la función de distribución:

$$P[X>1800]=P[1800<X<2000]=\int_{1800}^{2000} \cfrac{1}{2000-1000}dx=0.2$$

$$P[X>1800]=1-P[X<1800]=1-F(x=1800)=1-\cfrac{1800-1000}{2000-1000}=0.2$$

A continuación calculamos la esperanza y varianza de la distribución:

$$ X \sim U(1000,2000) : \begin{cases}
  \mu=\cfrac{1000+2000}{2}=1500 \\[8pt]
 \sigma^2=\cfrac{(2000-1000)^2}{12}
  \end{cases}$$

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