Independencia estadística

Se dice que dos variables son estadísticamente independientes cuando las distribuciones condicionadas en términos de frecuencias relativas de cada una de ellas a un valor de la otra no depende de dicho valor y además coincide con la distribución marginal de la variable en cuestión. En definitiva, dos variables estadísticas son independientes cuando los valores que pueda tomar cualquiera de ellas no influyen en absoluto en la distribución estadística de la otra.

El siguiente ejemplo nos ayudará a comprender el concepto. Supongamos que se han recogido las calificaciones de un grupo de alumnos y se han clasificado por el sexo, obteniéndose la siguiente tabla de contingencia:

Veamos como quedan las distribuciones condicionadas al sexo y la distribución marginal de las calificaciones en frecuencias relativas (por ejemplo, la frecuencia relativa del aprobado para el valor de condición "hombre" es 20/50=40%):

Hagamos lo mismo condicionando sobre la calificación:

Como puede observarse en la primera tabla de porcentajes la proporción de aprobados y suspensos sin tener en cuenta el sexo y teniéndolo en cuenta es exactamente la misma, y lo mismo ocurre con la proporción de hombres y mujeres según la calificación y sin tenerla en cuenta, lo que en definitiva viene a decir que el valor de una variable no influya lo más mínimo en l otra, por lo cual las dos variables son estadística independientes. 

Existe una forma más práctica de verificar la independencia estadística, ya que puede demostrarse que dos variables son independientes cuando el producto de las frecuencias marginales para cada par de valores de las variables en cuestión coincide con la frecuencia relativa para el cruce de los dos valores:

$$\cfrac{n_{ij}}{N}=\cfrac{n_{i.}}{N} \times \cfrac{n_{.j}}{N} \forall i,j$$

Veamos si se cumple en la tabla anterior:

$$\cfrac{20}{150}=\cfrac{60}{150} \times \cfrac{50}{150}$$

$$\cfrac{30}{150}=\cfrac{90}{150} \times \cfrac{50}{150}$$

$$\cfrac{40}{150}=\cfrac{60}{150} \times \cfrac{100}{150}$$

$$\cfrac{60}{150}=\cfrac{90}{150} \times \cfrac{100}{150}$$

Dado que la igualdad se cumple para todas los cruces de valores, las dos variables, el sexo y la calificación, son estadísticamente independientes. 

La independencia estadística implica correlación o asociación estadística nula entre ambas variables. Sin embargo, no ocurre lo mismo a la inversa, la incorrelación o asociación nula no implica necesariamente que las dos variables sean independientes.