Tasa de variación media

La tasa de variación media o tasa media de variación es el incremento porcentual promedio por periodo de una magnitud entre dos puntos temporales. Por ejemplo, una tasa de variación media de las ventas entre los años 2020 y 2025 del 5% indica que las ventas han crecido un 5% de promedio por año respecto al año anterior en ese intervalo de tiempo. 

El cálculo de la tasa de variación media puede realizarse (1) conociendo el valor final, valor inicial y el número de periodos en los que se divide el intervalo temporal consideraod y (2) a partir de las tasas de variación calculadas entre periodos consecutivos. 

Cálculo a través del valor final e inicial

Si denotamos \(V_t\) el valor final de una variable en el periodo t, y \(V_0\) su valor inicial en el periodo 0, la tasa de variación media \(v\), como promedio constante de crecimiento en ese periodo parte de la expresión del crecimiento exponencial o acumulativo:

$$V_t=V_0(1+v)^t  \longrightarrow v=\Bigg(\cfrac{V_t}{V_0}\Bigg)^{\cfrac1t}-1$$

Ejemplo. Una página web tuvo en febrero 5.000 visitas, llegando a 10.500 visitas en octubre. Calcúlese la tasa de variación media por mes.

De febrero a octubre han transcurrido 8 meses. Aplicando la fórmula explicada más arriba:

$$v=\Bigg(\cfrac{10.500}{5.000}\Bigg)^{\cfrac18}-1=0.096=9.6%$$

El crecimiento mensual de vistas ha sido por consiguiente del 9.6% entre febrero y octubre. 

Cálculo a través de las tasa de variación entre periodos consecutivos

A partir de la secuencia temporal de valores \(V_0,V_1,V_2,\ldots,V_{t-1},V_t\) referidos a una variable, calculamos las tasas de variación entre periodos consecutivos:

$$\cfrac{V_1}{V_0},\cfrac{V_2}{V_1},\ldots,\cfrac{V_t}{V_{t-1}}$$

Para calcular la tasa de media de variación, calculamos la media geométrica de esas tasas de variación entre periodos consecutivos:

$$v=\Bigg(\cfrac{V_1}{V_0} \times \cfrac{V_2}{V_1} \times \ldots \times \cfrac{V_t}{V_{t-1}}\Bigg)^{\cfrac1t}-1$$

Ejemplo. Se dispone de los siguientes datos sobre las ventas anuales en un comercio, en miles de euros: año 2020, 123; año 2021, 144; año 2022, 167; año 2023, 225. Calcúlese la tasa de variación media anual de las ventas. 

En primer lugar, calculamos las tasas de variación entre años consecutivos:

$$v_1=\cfrac{144}{123}=1.17;v_2=\cfrac{167}{144}=1.16;v_3=\cfrac{225}{167}=1.34$$

La tasa de variación mayor es del 34% y la menor del 16%, por lo que tasa de variación media se encontrará entre esos dos valores extremos. Aplicando la media geométrica, obtenemos directamente la tasa de variación media:

$$v=\Bigg(1.17\times 1.16 \times 1.34\Bigg)^{\cfrac13}-1=0.22=22%$$

El promedio anual de crecimiento ha sido del 22%.