La paradoja de Russell

La paradoja de Russell es la contradicción que aparece al considerar el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos y preguntar si ese conjunto es miembro de sí mismo. Si lo es, entonces no cumple la condición para estar dentro, así que no lo es; y si no lo es, cumple la condición, así que lo es. Las dos respuestas llevan a la contraria. Dicho así parece un juego de palabras, pero a principios del siglo XX demostró que la noción intuitiva de conjunto, la que usaba todo el mundo para fundamentar las matemáticas, era inconsistente.

La descubrió Bertrand Russell en la primavera de 1901, mientras escribía Los principios de la matemática. Estaba estudiando la demostración de Georg Cantor de que ningún conjunto puede emparejarse con el conjunto de todas sus partes, y quiso aplicarla al conjunto más grande imaginable, el que contiene todos los conjuntos. Al seguir el argumento paso a paso se encontró con la pregunta anterior. Al principio creyó que tenía que haber un error trivial en algún sitio. No lo había. Un año después, el 16 de junio de 1902, se la planteó por carta a Gottlob Frege, el lógico alemán cuyo sistema estaba más directamente expuesto.

Frege llevaba dos décadas intentando demostrar que la aritmética entera se deduce de la lógica pura. El primer volumen de sus Leyes fundamentales de la aritmética había salido en 1893 y el segundo estaba en la imprenta. Su sistema incluía una regla, la ley básica V, que en la práctica decía que toda propiedad bien definida determina un conjunto: el de las cosas que la tienen. La carta de Russell mostraba que la propiedad «no pertenecer a sí mismo» no puede determinar ningún conjunto sin contradicción. En notación moderna, si se define

entonces se obtiene $R \in R$ si y solo si $R \notin R$. Frege contestó a los seis días. Escribió que el descubrimiento lo había sorprendido en grado sumo y, casi podría decir, consternado, porque hacía vacilar la base sobre la que pensaba construir la aritmética. Añadió al segundo volumen, publicado en 1903, un apéndice que empieza con una de las frases más tristes de la historia de la ciencia: difícilmente puede ocurrirle a un autor científico nada menos deseable que ver tambalearse uno de los cimientos de su edificio justo después de terminarlo. Sesenta años más tarde Russell escribió que no conocía ningún acto de integridad comparable a aquella respuesta.

Russell no fue el único en verla. Ernst Zermelo había llegado a la misma contradicción en Gotinga hacia 1900 y se la había comunicado a algunos colegas, entre ellos Husserl, sin publicarla. Tampoco era la primera grieta: Cesare Burali-Forti había señalado en 1897 un problema parecido con el conjunto de todos los ordinales, y el propio Cantor sabía que la totalidad de todos los conjuntos daba problemas. Lo que hizo especial a la de Russell fue su desnudez. No necesitaba números, ordinales ni infinitos, solo la idea de pertenencia y la de negación.

Hubo dos salidas, y las dos se publicaron en 1908. Russell propuso la teoría de tipos: los objetos se ordenan en niveles, los conjuntos de un nivel solo pueden contener objetos del nivel inferior, y la expresión $x \in x$ deja de estar bien formada, de modo que la pregunta ni siquiera puede hacerse. Sobre esa base escribió con Alfred North Whitehead los Principia Mathematica. Zermelo eligió otro camino: renunció a que cualquier propiedad defina un conjunto y permitió solo separar, dentro de un conjunto ya dado, los elementos que cumplen una propiedad. Con los añadidos de Fraenkel y Skolem en 1922, ese sistema, conocido como ZF, es el fundamento estándar de las matemáticas actuales. En él la paradoja se convierte en un teorema: no existe el conjunto de todos los conjuntos.

La versión popular es la del barbero de un pueblo que afeita a todos los que no se afeitan a sí mismos, y solo a ellos. ¿Quién afeita al barbero? Russell la citó en 1918 atribuyéndosela a otra persona, y es más débil que el original, porque se resuelve concluyendo sin más que ese barbero no existe. Lo inquietante del caso de los conjuntos es que la descripción parecía tan inocente como cualquier otra. La lección, que Kurt Gödel llevaría más lejos en 1931, es que un sistema que puede hablar de sí mismo tiene límites que no se ven desde dentro, y que la intuición, por clara que parezca, no basta como garantía de consistencia.

Los teoremas de incompletitud de Gödel – El hotel de Hilbert – Conjunto vacío – La paradoja de la tolerancia – Aquiles y la tortuga