Aquiles y la tortuga: las paradojas de Zenón

Aquiles, el más veloz de los griegos, echa una carrera contra una tortuga y, por deportividad, le da ventaja. Cuando Aquiles llega al punto de donde salió la tortuga, esta ha avanzado un poco. Cuando Aquiles cubre ese poco, la tortuga ha avanzado otro poco más. Cada vez que Aquiles alcanza el lugar donde estaba la tortuga, la tortuga ya no está allí, y como esto puede repetirse sin fin, Aquiles nunca la alcanza. Todo el mundo sabe que Aquiles alcanza a la tortuga; la cuestión es dónde falla el razonamiento, y esa pregunta, planteada por Zenón de Elea hacia el año 450 antes de Cristo, tardó más de dos mil años en recibir una respuesta matemática, y todavía hoy tiene un residuo filosófico.

Zenón no escribía sobre carreras. Era discípulo de Parménides, que sostenía que la realidad es una, inmóvil y eterna, y que la pluralidad y el movimiento que vemos son apariencias. Sus paradojas, unas cuarenta según Proclo, de las que se conservan nueve por citas de Aristóteles, eran argumentos a favor del maestro: si suponer que el movimiento existe lleva a contradicciones, el movimiento no existe. Las cuatro paradojas del movimiento forman un sistema. La dicotomía dice que para recorrer un estadio hay que recorrer antes la mitad, y antes la mitad de la mitad, y así sin fin, de modo que no se puede ni empezar. La de Aquiles es la misma idea con dos móviles. La flecha cambia de ángulo: en cada instante, la flecha en vuelo ocupa un espacio igual a sí misma, y lo que ocupa un espacio igual a sí misma está en reposo; si en cada instante está en reposo, nunca se mueve. La del estadio juega con filas de cuerpos que se cruzan a velocidades opuestas. Las dos primeras suponen que el espacio y el tiempo son divisibles sin fin; las dos últimas, que están hechos de instantes y puntos indivisibles. Zenón ataca las dos hipótesis a la vez, para que no quede salida.

Aristóteles le dedicó varias páginas de la Física y dio la primera respuesta: una distancia finita contiene infinitas partes en potencia, pero no hay que recorrerlas una a una en acto; el tiempo es igualmente divisible, de modo que a infinitos tramos de espacio corresponden infinitos tramos de tiempo, cada vez más cortos, y la suma de ambos es finita. Para la flecha, Aristóteles niega la premisa: el tiempo no está compuesto de instantes como una línea no está compuesta de puntos, y no tiene sentido decir que algo se mueve o está en reposo en un instante. Era una respuesta buena, y se quedó corta en un punto que Aristóteles mismo admitió: no explicaba cómo una suma de infinitos términos puede dar un resultado finito. Ese hueco lo llenó el cálculo. La ventaja de la tortuga es, digamos, de cien metros, y Aquiles corre diez veces más rápido; los tramos que recorre son 100, 10, 1, 0,1 metros, y la serie geométrica $100 + 10 + 1 + 0{,}1 + \cdots$ suma exactamente $111{,}\overline{1}$ metros. Aquiles alcanza a la tortuga ahí, y lo hace en un tiempo también finito. Lo que Zenón presentaba como una tarea infinita es una tarea finita descrita en infinitos pasos. La teoría rigurosa de las series convergentes, de Cauchy y Weierstrass en el siglo XIX, es lo que permite decir esto sin trampa.

La flecha necesitó otra herramienta, y la dio el mismo siglo. En la física moderna, el movimiento en un instante no es una contradicción sino una derivada: la velocidad instantánea es el límite de los desplazamientos sobre intervalos cada vez más cortos. Bertrand Russell defendió en 1914 lo que llamó la teoría «estática» del movimiento: moverse no es otra cosa que estar en lugares distintos en instantes distintos, y la flecha está en reposo en cada instante en el único sentido en que eso significa algo, que es que ocupa una posición. Zenón, decía Russell, tenía razón en la premisa y se equivocaba en pensar que de ella se seguía la inmovilidad. Esa lectura, que hace del movimiento una sucesión de posiciones sin nada que las una, sigue incomodando a muchos filósofos, y Henri Bergson construyó contra ella toda una metafísica de la duración.

Lo que queda abierto no es si Aquiles alcanza a la tortuga, sino si el cálculo resuelve la paradoja o la esquiva. Las matemáticas explican que la suma es finita; no explican cómo se puede completar una serie infinita de actos, que es lo que Zenón preguntaba. Desde los años cincuenta, los filósofos han discutido las «supertareas», como la lámpara de Thomson, que se enciende y apaga en intervalos cada vez más cortos y de la que no se puede decir si al cabo de un minuto está encendida o apagada. Y la física cuántica, al poner en duda que el espacio y el tiempo sean continuos por debajo de la escala de Planck, ha devuelto cierta actualidad a las paradojas que Zenón construyó contra los indivisibles. Dos mil quinientos años después, un argumento de cuatro líneas escrito para defender que nada se mueve sigue siendo la mejor introducción a lo que significa el infinito.

El movimiento se demuestra andando – Alétheia o verdad (Parménides) – Poema de Parménides: Sobre la naturaleza (Peri physeos) – El gato de Schrödinger