El hotel de Hilbert

El hotel de Hilbert es un experimento mental que muestra cómo se comportan los conjuntos infinitos: un hotel con infinitas habitaciones, todas ocupadas, en el que sin embargo siempre se puede alojar a un huésped más. La situación parece una contradicción, porque en cualquier hotel de verdad lleno significa que no cabe nadie. En el de Hilbert no lo significa, y la diferencia entre las dos cosas es exactamente la diferencia entre lo finito y lo infinito.

La historia se atribuye a David Hilbert, el matemático más influyente de su época, que la contó en Gotinga en un curso de 1924 sobre el infinito. Las notas de ese curso quedaron inéditas durante casi noventa años, y el historiador Helge Kragh ha reconstruido cómo la anécdota circuló sin publicarse hasta que el físico George Gamow la puso por escrito en 1947 en su libro de divulgación Uno, dos, tres… infinito, de donde pasó a todos los demás. Hilbert la usaba para presentar a un público amplio las ideas de Georg Cantor, que entre 1874 y 1897 había construido la teoría de conjuntos y había demostrado algo que escandalizó a muchos de sus colegas: que hay infinitos de distintos tamaños. Hilbert fue su defensor más decidido, y en una conferencia de 1925 dejó la frase que resume su postura: nadie nos expulsará del paraíso que Cantor ha creado para nosotros.

El mecanismo es sencillo. Llega un viajero y el hotel está lleno. El recepcionista pide por megafonía que cada huésped se mude a la habitación siguiente: el de la 1 a la 2, el de la 2 a la 3, el de la $n$ a la $n+1$. Nadie se queda sin cuarto, porque no hay una última habitación de la que alguien sea expulsado, y la 1 queda libre. Si llegan cien viajeros, cada huésped se corre cien puertas. Si llega un autobús con infinitos pasajeros, uno por cada número natural, el recepcionista pide a cada huésped que se mude de la $n$ a la $2n$. Los antiguos ocupan ahora las habitaciones pares y quedan libres todas las impares, infinitas, para los recién llegados. Incluso infinitos autobuses con infinitos pasajeros caben: basta asignar a cada pasajero una habitación cuyo número dependa de su autobús y su asiento de forma que no se repita ninguno, por ejemplo usando potencias de números primos distintos para cada autobús.

Lo que el hotel ilustra es la definición moderna de igualdad de tamaño. Dos conjuntos tienen el mismo número de elementos si se pueden emparejar uno a uno sin que sobre nadie en ninguno de los dos lados. Con conjuntos finitos esto coincide con contar. Con infinitos produce resultados que parecen imposibles: hay tantos números pares como números naturales, porque cada $n$ se empareja con $2n$, aunque los pares sean solo una parte de los naturales. Galileo ya había notado en 1638 que los cuadrados perfectos se pueden emparejar con todos los números y concluyó que las palabras mayor, menor e igual no tenían sentido aplicadas al infinito. Richard Dedekind dio la vuelta al argumento en 1888: un conjunto es infinito precisamente cuando puede emparejarse con una parte propia de sí mismo. Lo que a Galileo le parecía una paradoja es, desde entonces, la definición.

La parte más interesante del hotel es la que no funciona. Supongamos que llega un autobús con un pasajero por cada número real entre 0 y 1, cada uno con su desarrollo decimal infinito como nombre. Cantor demostró que esa multitud no cabe en el hotel ni vaciándolo entero. Su argumento más conocido, el diagonal de 1891, supone que alguien ha conseguido asignar una habitación a cada pasajero y construye un pasajero que se ha quedado fuera: el que difiere del huésped de la habitación 1 en la primera cifra, del de la 2 en la segunda, y así siempre. Ese número no puede estar en ninguna habitación, porque difiere de cada ocupante al menos en una cifra. Por lo tanto, el infinito de los números reales es estrictamente mayor que el de los naturales.

El hotel se ha usado también fuera de las matemáticas. Algunos filósofos, como William Lane Craig, lo citan para sostener que un infinito actual no puede existir en el mundo físico, porque sus consecuencias serían absurdas; los matemáticos responden que lo absurdo es solo lo contrario a la intuición formada con cosas finitas. Lo que el hotel deja claro es que la intuición sobre las cantidades viene de contar objetos que se acaban, y que al pasar al infinito hay que decidir qué conservar. Cantor decidió conservar el emparejamiento y renunciar a que la parte sea siempre menor que el todo, y casi toda la matemática del siglo XX se construyó sobre esa elección.

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