La cinta de Möbius

La cinta de Möbius es la superficie que se obtiene tomando una tira larga de papel, dándole medio giro a uno de los extremos y pegándolo con el otro. El resultado parece un anillo torcido y tiene una propiedad que se comprueba en diez segundos: si se apoya un lápiz en cualquier punto y se traza una línea sin levantarlo ni cruzar ningún borde, la línea recorre lo que uno creía las dos caras y vuelve al punto de partida. La cinta no tiene dos caras, tiene una. Lo mismo ocurre con el borde: pasando el dedo por el canto se recorre todo el contorno y se regresa al inicio sin saltar. Un solo borde, que además es una circunferencia deformada.

La descubrieron de forma independiente y casi simultánea dos matemáticos alemanes en 1858. August Ferdinand Möbius, astrónomo en Leipzig, llegó a ella trabajando en un problema sobre cómo calcular el volumen de un poliedro descomponiéndolo en tetraedros con signo, donde hacía falta una noción coherente de orientación. Johann Benedict Listing, en Gotinga, llegó por otra vía y fue el primero en publicar, en 1861, dentro de un trabajo en el que de paso acuñó la palabra topología. Los apuntes de Möbius son anteriores, pero su texto apareció después de su muerte. La cinta lleva su nombre; la disciplina en la que vive lleva el de Listing.

Lo que la cinta ilustra es la no orientabilidad. Imagínese una figura plana dibujada sobre la superficie, por ejemplo una mano derecha, y désele un paseo por la cinta hasta volver al punto de partida. Al regresar es una mano izquierda. No ha habido ninguna reflexión ni ningún truco: la propia superficie no permite distinguir de modo coherente un sentido de giro, y por eso no se puede pintar de dos colores ni asignarle un vector normal continuo. Conviene no confundir esto con tener una sola cara. Las caras son una propiedad de cómo está metida la superficie en el espacio; la orientabilidad es una propiedad de la superficie en sí misma, que no depende de dónde se la ponga. La botella de Klein es el ejemplo siguiente: una superficie no orientable y además cerrada, sin borde, que no cabe en tres dimensiones sin atravesarse a sí misma, y que puede construirse pegando dos cintas de Möbius por su borde.

Los cortes son la parte que siempre sorprende. Cortar la cinta a lo largo por la mitad no da dos cintas: da una sola, el doble de larga, con dos giros completos y con dos caras, es decir, orientable. Cortarla a un tercio del borde da dos cintas enlazadas, una de ellas de Möbius y de la longitud original, y la otra con dos caras y el doble de larga. Y si de entrada se da un giro completo en lugar de medio, la superficie resultante ya es normal, con dos caras, y al cortarla por la mitad se obtienen dos anillos enlazados. La regla general depende de si el número de medios giros es par o impar, y comprobarla con tijeras sigue siendo el mejor modo de entenderla.

Las aplicaciones existen y son más prosaicas de lo que cabría esperar. Se han patentado cintas transportadoras y cintas de grabación montadas con medio giro para que el desgaste se reparta por toda la superficie, lo que duplica la vida útil del material. Hay resistencias eléctricas de Möbius, que no generan inductancia porque la corriente recorre la cinta en los dos sentidos. Y en química se han sintetizado moléculas con esa topología: David Walba y sus colaboradores fabricaron en 1982 la primera escalera molecular cerrada con medio giro, lo que abrió el campo de la estereoquímica topológica. El símbolo del reciclaje, ganador de un concurso estudiantil en 1970, es la cinta más vista del mundo, aunque casi nadie la reconozca como tal.

En el arte y la literatura la cinta ha sido una imagen productiva, de las hormigas que caminan sin fin en la litografía de Escher a las esculturas de banda sin término de Max Bill y a cualquier relato cuyo final empalme con su principio. El atractivo es siempre el mismo. La cinta es una pieza de topología que no exige ninguna preparación: se fabrica con papel y celo, se comprueba en el acto y contradice sin discusión posible algo que todo el mundo daba por evidente, que una superficie tiene un dentro y un fuera. Esa es también la razón de que aparezca en la primera clase de casi cualquier curso de la materia.

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