Variable aleatoria

Intuitivamente, que no formalmente, una variable aleatoria es el conjunto de valores numéricos que se asocian a los resultados de un experimento aleatorio. Por ejemplo, cuando lanzamos una moneda, el espacio muestral viene dado por cara y cruz (\(\Omega=\{O,X\}\)), una variable aleatoria sería aquella que asocia el valor numérico 0 al resultado cara y el valor 1 a cruz. Más generalmente incluso, puede afirmarse que una variable aleatoria es aquel valor númerico asociado a una característica o fenómeno que ocurre aleatoriamente o al azar u ocurre con variabilidad, como por ejemplo la puntuación obtenida al lanzar un dado, el número de averías en una máquina un día determinado, la calificación  de un estudiante en una asignatura o las ventas diarias en un establecimiento.

Sin embargo, el tratamiento matemático del concepto exige una definición más formal y precisa, de la que adelantamos que una variable aleatoria no es una variable sino una función, y que esa función no es aleatoria, sino totalmente determinista. Vayamos paso a paso. 

Debe recordarse que un espacio de probabilidad es una tripleta \((\Omega,\mathcal{F},P)\), que asocia a un espacio muestral \(\Omega\)  una sigma-álgebra \(\mathcal{F}\), que reúne todos un conjunto de sucesos cerrado bajo las operaciones de complementación, unión e intersección, sobre la que se establece una medida de probabilidad P. Por ejemplo, el conjunto \(S=\{\emptyset,(1,2,3),(4,5,6),\Omega\}\) es una sigma-álgebra asociada a la puntuación de un dado debido a que cualquier operación entre conjuntos de las mencionadas da como resultado un conjunto que ya está en la sigma-álgebra. Como hemos dicho, P es la medida de probabilidad, una función que asocia a cada elemento de la sigma-álgebra un número en el intervalo [0,1], es decir, la probabilidad, con la única condición de la aditividad de probabilidades para conjuntos disjuntos de la sigma-álgebra y que el resultado sea 0 para el conjunto vacío y 1 para el espacio muestral. De esas condiciones pueden deducirse las reglas habituales del cálculo de probabilidades para todas las combinaciones de sucesos posibles. 

Una variable aleatoria es una función \(X:\Omega \longrightarrow \mathbb{R}\); esto es, una función que hace corresponder a cada resultado del espacio muestral un número real, que es lo que comúnmente llamamos variable aleatoria, aunque en realidad la variable aleatoria es la función que tiene como imagen un número real. Sin embargo, cuando operamos en el conjunto de los números reales, no consideramos habitualmente valores individuales, sino que frecuentemente conideramos intervalos del tipo "mayor que", "menor o igual que", etc, que es lo se denomina conjunto de Borel o boreliano (\(\mathcal{B}\)). Si queremos operar de forma lógica, los sucesos inversamente asociados a estos borelianos, es decir las antiimágenes de los borelianos, deberían encontrarse en la sigma-álgebra \(\mathcal{F}\) que establecido anteriormente en el espacio de probabilidad. Por ejemplo, si como variable aleatoria contamos el número de veces que lanzo una moneda hasta obtener cara y quiero calcular la probabilidad de tener que lanzar 4 veces o menos, los sucesos correspondientes {O,XO,XXO,XXXO},{O,XO,XXO},{O,XO},{O} deben estar en la sigma-álgebra  del espacio de probabilidad establecido, de forma que pueda asignarsele a su unión, y por ende a los valores de la variable aleatoria definidos por el intervalo \(x \leq 4\) una probabilidad, gracias a la medida de probabilidad P del espacio de probabilidad considerado. Realizar la comprobación que hemos exigido para el intervalo de la variable aleatoria \(x \leq 4\) para todos los borelianos es harto laborioso, pero existen caracterizaciones o "atajos" de la variable aleatoria, que permiten comprobar de una forma más eficiente si está bien construida. Uno de estos atajos establece que es suficiente con el cumplimiento de que \(X^{-1}(X \leq x) \in \mathcal{F}\) para definir una variable aleatoria de forma coherente. Así pues, de forma más rigurosa que al comienzo podemos definir una variable aleatoria como una función de esta forma:

$$X:\Omega \longrightarrow \mathbb{R} | X^{-1}(\mathcal{B}) \in \mathcal{F}$$

Y utilizando el atajo:

$$X:\Omega \longrightarrow \mathbb{R} | X^{-1}(X \leq x) \in \mathcal{F}$$

Puede interesarte también

• Distribución de probabilidad