Tengo un pie en agua hirviendo y otro en hielo, pero de media estoy bien

Hay un chiste que los estadísticos se cuentan a sí mismos, y que existe en muchas versiones. Un hombre tiene un pie metido en un cubo de agua hirviendo y el otro en un cubo de hielo. Le preguntan qué tal está y responde: «De media, estupendamente». Otra versión habla de un estadístico que se ahogó al cruzar un río cuya profundidad media era de un metro. Y otra, de un cazador que dispara a un pato y falla por un metro a la izquierda, dispara otra vez y falla por un metro a la derecha, y su compañero estadístico grita: «¡Le hemos dado!».

Los tres chistes dicen lo mismo: una media puede ser perfectamente correcta y no servir para nada, o peor, llevarte al desastre. El hombre de los cubos tiene una temperatura media agradable y dos pies destrozados. El río tiene una profundidad media de un metro, pero en el centro hay un pozo de tres. El pato, de media, está muerto, y en realidad se ha ido volando. El problema no es el cálculo, sino lo que se ha perdido al hacerlo: la variación.

Ya hemos visto en capítulos anteriores que la media puede engañar cuando hay valores extremos que la arrastran, y que puede describir a una persona que no existe. Este capítulo va un paso más allá: aunque la media esté bien elegida y describa bien el centro, un solo número no puede contar cómo se reparten los datos alrededor de ese centro, y muchas veces eso es justo lo que importa.

Piensa en el clima. Dos ciudades pueden tener la misma lluvia media al año, y una tenerla repartida en lluvias suaves cada semana, mientras la otra la recibe en tres tormentas que inundan las calles y luego nada durante meses. Para un agricultor o para un ingeniero que diseña el alcantarillado, esas dos ciudades no se parecen en nada. Un embalse diseñado para la lluvia media se desborda en las tormentas y se seca en las sequías. Pasa lo mismo con un hospital que calcula sus camas para la ocupación media: la mitad de los días le sobran, y la otra mitad hay pacientes en los pasillos.

El economista Sam Savage, de la Universidad de Stanford, bautizó este problema como la falacia de las medias, y lo resumió en una frase: los planes basados en condiciones medias fallan, de media. Su ejemplo favorito es el de un borracho que camina tambaleándose por el centro de una carretera. Su posición media es la línea del centro, donde los coches no pasan, así que de media está a salvo. Su posición real va de un lado a otro y, en algún momento, acaba en un carril. Con el borracho de media, nadie muere atropellado; con el borracho real, sí.

Detrás hay una idea matemática muy bonita, que demostró el matemático danés Johan Jensen en 1906 y que se conoce como la desigualdad de Jensen. Dice, más o menos, que cuando el resultado de algo no crece en línea recta con sus causas, el resultado medio no es igual al resultado de la causa media. Un ejemplo sencillo: una empresa tiene que terminar un proyecto que depende de tres equipos que trabajan a la vez, y cada uno tarda de media diez días, a veces ocho, a veces doce. ¿Cuánto tarda el proyecto de media? Uno diría que diez días, pero no: el proyecto termina cuando acaba el equipo más lento, y basta con que uno de los tres se retrase para que se retrase todo. El resultado es que el proyecto tarda de media bastante más de diez días, aunque cada equipo, de media, tarde diez. Por eso casi todas las obras, las mudanzas y las reformas se alargan: se planifican con medias.

Hay otro ejemplo, menos evidente y muy práctico. Imagina que inviertes cien euros y el primer año ganan un 50 por ciento, y el segundo pierden un 50 por ciento. La rentabilidad media es cero, así que uno pensaría que sigues teniendo tus cien euros. Pero el primer año pasan a 150 y el segundo, al perder la mitad, se quedan en 75. Has perdido un cuarto de tu dinero con una rentabilidad media de cero. Por eso en finanzas se usa la media geométrica, que tiene en cuenta cómo se acumulan las subidas y bajadas, y por eso la variación, lo que los financieros llaman volatilidad, es en sí misma un coste.

¿Qué hacer entonces? Lo primero es no conformarse nunca con un solo número cuando se toma una decisión importante. Junto a la media hay que preguntar siempre cuánto varían los datos, y para eso existen medidas como la desviación típica, que dice cuánto se separan de media los datos de su media, y de la que trata el capítulo siguiente. Lo segundo es fijarse en los extremos, porque muchas veces lo que importa no es el caso típico, sino el peor: el puente se diseña para la riada de cada cien años, no para el caudal medio, y el hospital se dimensiona para el invierno de la gripe, no para la semana tranquila de agosto. Lo tercero es mirar los datos dibujados, porque un histograma o un diagrama de caja enseñan de un vistazo lo que la media esconde.

Al ensayista y antiguo operador de bolsa Nassim Taleb se le atribuye el consejo de no cruzar nunca un río solo porque tenga, de media, un metro de profundidad. La frase resume todo el capítulo. La media es una herramienta extraordinaria para resumir, comparar y seguir la evolución de algo, y la usamos todos los días con razón. Pero es un resumen, y todo resumen pierde algo. Cuando lo que se pierde es la variación, a veces se pierde lo único que importaba.