La media no basta: la desviación típica

Si te dicen que una ciudad española tiene una temperatura media anual de unos quince grados, ¿qué ropa meterías en la maleta para pasar allí un año? Es una pregunta trampa, porque esa descripción vale para Madrid y para A Coruña, que tienen medias anuales muy parecidas. Y sin embargo, cualquiera que haya vivido en las dos sabe que sus climas no se parecen en nada. En Madrid, enero ronda los seis grados de media, con heladas por la noche, y julio pasa de los veinticinco, con tardes que superan con frecuencia los treinta y cinco. En A Coruña, el mar suaviza todo: el mes más frío anda por los diez grados y el más cálido apenas pasa de los diecinueve. La misma media, dos mundos distintos.

Lo que separa a las dos ciudades no es el centro, sino la dispersión: cuánto se alejan las temperaturas de esa media a lo largo del año. En Madrid se alejan mucho, hacia arriba en verano y hacia abajo en invierno. En A Coruña se quedan cerca. Para describir un clima, o cualquier otro conjunto de datos, hacen falta al menos dos números: uno que diga dónde está el centro y otro que diga cuánto se separan los datos de él. El segundo número más usado se llama desviación típica, o desviación estándar.

La idea se entiende con un ejemplo de clase. Un profesor tiene dos grupos de alumnos y los dos sacan un 5 de media en el examen. En el primero, todos han sacado entre un 4 y un 6. En el segundo, la mitad ha sacado un 9 o un 10 y la otra mitad, un 0 o un 1. La media no distingue entre los dos grupos, pero el profesor sí debería hacerlo, porque en el primero tiene una clase homogénea a la que puede dar el mismo ritmo, y en el segundo tiene dos clases distintas metidas en la misma aula. La desviación típica del primer grupo será pequeña, menos de un punto. La del segundo será enorme, más de cuatro puntos.

¿Cómo se calcula? La receta tiene cuatro pasos y se puede seguir con calma. Primero, se calcula la media. Segundo, se mira cuánto se aleja cada dato de esa media: un alumno con un 9 en una clase de media 5 se aleja cuatro puntos hacia arriba, y uno con un 1 se aleja cuatro hacia abajo. Tercero, se elevan esas distancias al cuadrado, para que las de arriba y las de abajo no se anulen entre sí y para que las grandes pesen más que las pequeñas, y se calcula la media de esos cuadrados. Ese número se llama varianza. Cuarto, como la varianza está en unidades al cuadrado, puntos al cuadrado o grados al cuadrado, que no significan nada intuitivo, se le hace la raíz cuadrada para volver a las unidades de partida. Eso es la desviación típica: más o menos, la distancia típica a la que queda un dato de su media.

La forma de calcularla viene del trabajo de los astrónomos y los matemáticos de los siglos XVIII y XIX, como Carl Friedrich Gauss, que necesitaban saber cuánto se equivocaban sus mediciones. El nombre de desviación estándar lo puso el estadístico británico Karl Pearson en 1894, en un artículo sobre la teoría de la evolución, y se ha quedado desde entonces.

Una de las cosas más útiles de la desviación típica aparece cuando los datos tienen forma de campana, la de la distribución normal, como pasa con muchas medidas biológicas. En ese caso se cumple una regla muy práctica: alrededor de dos tercios de los datos quedan a menos de una desviación típica de la media, alrededor del 95 por ciento quedan a menos de dos, y casi todos, el 99,7 por ciento, a menos de tres. Los test de inteligencia, por ejemplo, se construyen para que la media sea 100 y la desviación típica 15. Eso quiere decir que dos de cada tres personas puntúan entre 85 y 115, y que menos de un 3 por ciento pasa de 130. Con dos números, la media y la desviación típica, se describe toda la población.

La desviación típica está en todas partes, aunque no la nombremos. En la bolsa se le llama volatilidad, y mide el riesgo de una inversión: dos fondos que han rendido lo mismo de media no son igual de arriesgados si uno sube y baja mucho más que el otro. En una fábrica, mide la calidad: un fabricante de tornillos no solo quiere que tengan de media el diámetro correcto, sino que todos lo tengan, y el control de calidad consiste en vigilar que la desviación típica sea pequeña. En medicina, sirve para decidir qué es normal: un análisis de sangre marca como anormal un valor que se aleja de la media de la población sana más de un cierto número de desviaciones típicas. Y en las encuestas, el margen de error que acompaña a cada porcentaje sale de una desviación típica.

Hay que saber también lo que la desviación típica no hace bien. Como eleva las distancias al cuadrado, es muy sensible a los valores extremos, igual que la media: un solo dato muy raro la dispara. Por eso, cuando los datos tienen colas largas, como los sueldos, se prefieren otras medidas de dispersión más resistentes, como el recorrido intercuartílico, que es la altura de la caja en el diagrama de caja de Tukey. Y tampoco sirve para comparar la variación de cosas que se miden en escalas muy distintas: una desviación de un kilo es enorme en el peso de un recién nacido y despreciable en el de un elefante. Para eso existe el coeficiente de variación, que divide la desviación típica por la media y la expresa en porcentaje.

La lección de fondo es la misma que la del hombre con un pie en agua hirviendo y otro en hielo: la media cuenta dónde está el centro, pero no cómo es la vida alrededor de él. Para saber qué ropa meter en la maleta, para saber si un medicamento funciona igual en todos los pacientes o para saber si una inversión te dejará dormir, hace falta preguntar también cuánto varían las cosas. Y cuando lo que varía es el reparto de algo entre las personas, como la renta o la riqueza, la estadística tiene una medida especial para ello, que es la protagonista del capítulo siguiente: el arte de medir lo desigual.