Cuando la media miente: media, mediana y Bill Gates en un bar

Imagina un bar de barrio con cincuenta clientes un viernes por la tarde. Son gente corriente, con sueldos corrientes, y si les preguntas cuánto ganan al año y calculas la media, te sale una cifra razonable, pongamos que 30.000 euros. Entonces se abre la puerta y entra Bill Gates a tomarse una caña. Si vuelves a calcular la media de lo que tienen los clientes del bar, esta vez su patrimonio, la cifra se dispara a cientos de millones de euros por cabeza. Según la media, todo el bar se ha vuelto inmensamente rico de golpe. Nadie en la barra ha notado nada.

El ejemplo es un clásico de las clases de estadística porque enseña en diez segundos el defecto principal de la media: es muy sensible a los valores extremos. La media suma todos los datos y los reparte a partes iguales, así que un solo valor enorme se reparte entre todos y los arrastra hacia arriba. Si en vez de la media calculas la mediana, que es el valor que queda justo en el centro cuando ordenas a todos de menor a mayor, la llegada de Bill Gates casi no la mueve: el cliente del medio sigue siendo el mismo, o el de al lado. La mediana describe al bar; la media, después de que entre el millonario, describe a un bar que no existe.

Esto no es una curiosidad de bar. Pasa con los sueldos de cualquier país. En España, según la encuesta de estructura salarial del Instituto Nacional de Estadística, el salario bruto anual medio de 2022 rondaba los 27.000 euros. La mediana, en cambio, se quedaba en unos 22.400. Hay más de 4.500 euros de diferencia, y no es un error: es la forma que tienen los sueldos. La mayoría de la gente cobra cantidades parecidas, pero hay una minoría que cobra mucho, y unos pocos que cobran muchísimo. Esa cola larga de sueldos altos tira de la media hacia arriba, mientras que la mediana se queda donde está el grueso de la gente.

La consecuencia es contraintuitiva: la mayoría de los trabajadores cobra menos que el salario medio. Cuando un titular dice que el sueldo medio ha subido, mucha gente compara con su nómina y piensa que algo no cuadra, y tiene razón. Para saber cuánto gana un trabajador típico, el número correcto es la mediana. Lo mismo ocurre con los precios de los pisos, con la riqueza de las familias, con el número de seguidores en las redes sociales o con la taquilla de las películas. En todos esos casos hay unos pocos valores gigantescos que hacen que la media sea engañosa.

En estadística, a esa forma se le llama distribución asimétrica, o sesgada hacia la derecha: si dibujas el histograma de los sueldos, verás una montaña alta a la izquierda, donde está la mayoría, y una cola larga que se extiende hacia la derecha. En una distribución así, la media casi siempre queda a la derecha de la mediana, arrastrada por la cola. Y aún hay una tercera medida, la moda, que es el valor más frecuente, y que en los sueldos queda todavía más a la izquierda que la mediana. Cuando estos tres números no coinciden, los datos están contando algo, y conviene escucharlos.

Hay un ejemplo aún más curioso de cómo la media puede ser absurda. Casi todas las personas tienen dos piernas, pero unas pocas tienen una o ninguna por culpa de un accidente o una enfermedad. Así que la media de piernas por persona es un poquito menor que dos, algo como 1,99. Resultado: casi toda la humanidad tiene más piernas que la media. No hay ningún error en el cálculo; simplemente, la media no es un buen resumen de algo en lo que casi todo el mundo coincide y unos pocos se apartan en una sola dirección.

¿Significa esto que hay que olvidarse de la media? No. La media tiene una virtud que la mediana no tiene: cuenta con todos los datos y con todo su peso. Si lo que te interesa es el total, por ejemplo cuánto va a recaudar Hacienda con un impuesto sobre la renta, cuánta agua gasta una ciudad o cuánto se va a gastar una empresa en sueldos, necesitas la media, porque el total es la media multiplicada por el número de personas. Ahí, el sueldo del millonario sí importa, y mucho. Además, cuando los datos son simétricos, como las estaturas de los adultos de un mismo sexo, la media y la mediana casi coinciden, y la media tiene propiedades matemáticas que la hacen más cómoda para trabajar.

La pregunta, por tanto, no es cuál es mejor, sino qué quieres saber. Si quieres describir al caso típico, al trabajador corriente o al piso normal, la mediana suele ser más honesta. Si quieres hablar del total o del reparto entre todos, la media es la adecuada. Y si las dos son muy distintas, lo más honesto es dar las dos, porque la diferencia entre ellas ya es una información valiosa: indica lo desigual que es el reparto.

Hay soluciones intermedias. Una es la media recortada, que quita un porcentaje de los valores más altos y más bajos antes de calcular la media, como hacen los jueces en algunas competiciones deportivas cuando descartan la nota más alta y la más baja. John Tukey, el inventor del diagrama de caja, defendía este tipo de medidas resistentes precisamente porque no se dejan engañar por unos pocos valores extremos.

Y queda una advertencia más. Quien quiere que una cifra parezca grande escoge la medida que más sale, y quien quiere que parezca pequeña, la que menos. Darrell Huff ya advertía en 1954 de que una misma empresa puede presumir ante sus accionistas de un sueldo medio alto, que incluye los de los directivos, y discutir con el sindicato usando la mediana, mucho más baja. Las dos cifras son ciertas. Por eso, cada vez que alguien diga «de media», conviene preguntarse qué media es, de quién y por qué la ha elegido. Y aun eligiendo bien, un solo número tiene un límite, que es justo de lo que habla el capítulo siguiente: tengo un pie en agua hirviendo y otro en hielo.