Menores complementarios

En algebra lineal y en relación a un elemento de una matriz cuadrada, su menor complementario es el determinante de la submatriz resultante de eliminar la fila y la columna correspondientes a ese elemento. Para un elemento \(a_{ij}\), se denomina \(M(ij)\).

Ejemplo

Dada la siguiente matriz,

$$\left (
\begin{array}{rrr}
2 & 1 & 0 \\
1 &-1 & 1 \\
0 & 2 &-1
\end{array}
\right )$$

vamos a calcular el menor complementario correspondiente al elementos de la matriz $a_{11}=2$.

Eliminamos de la matriz la fila y columna correspondientes a dicho elemento, y formamos la submatriz resultante:

$$\left (
\begin{array}{rr}
-1 & 1 \\
2 &-1
\end{array}
\right )$$

El menor complementario de $a_11$ es el determinante de dicha submatriz:

$$M_{11}=\left |
\begin{array}{rr}
-1 & 1 \\
2 &-1
\end{array}
\right |=1 \times -1 - 1 \times 2=-3$$

Los menores complementarios deben calcularse como primer paso para el cálculo de la matriz inversa.