Media de medias (media general, media agregada)

La media de medias, también llamada media general o media agregada, es la media de un conjunto de datos calculada a partir de las medias de varias submuestras que engloban aquellos datos. Un ejemplo sería calcular la media de las calificaciones de un conjunto de alumnos en una asignatura a partir de la media de califiaciones para cada aula en la que se imparte en la asignatura. 

Si denotamos  \(\overline{x}\) la media general o agregada, \(\overline{x}_1,\overline{x}_2,...,\overline{x}_k\) las medias parciales y \(n_1,n_2,...,n_k\) los tamaños muestrales de aquellas, cumpliéndose que \(n_1+n_2+...+n_k=n\), siendo \(n\) el tamaño muestral total, la media general se calcularía a través de esta fórmula, que en última instancia no es más que una aplicación de la media aritmética ponderada:

$$\overline{x}=\cfrac{n_1\overline{x}_1+n_2\overline{x}_2+\cdots+n_k\overline{x}_k}{n_1+n_2+\cdots+n_k}$$

La formula anterior se deduce fácilmente teniendo en cuenta que la suma de un grupo de datos se calcula a partir de su media de esta forma:

$$\overline{x}=\cfrac{\sum_ix_i}{n} \longrightarrow \sum_ix_i=n\overline{x}$$

De esta forma, en la fórmula de la media de medias no hacemos más que calcular las sumas parciales para cada grupo de datos según la fórmula anterior y agregar las sumas parciales para cada grupo. 

Ejemplo de aplicación

Un profesor es responsable de una asignatura de matemáticas en tres aulas A, B y C. Las medias de las calificaciones en dichas aulas es respectivamente 6.2, 7.5 y 5.4, y los número de alumnos en cada aula 24, 18 y 14. Determinar la media de las calificaciones para las tres aulas:

$$\overline{x}=\cfrac{n_A\overline{x}_A+n_B\overline{x}_B+n_C\overline{x}_C}{n_A+n_B+n_C}=\cfrac{24 \times 6.2 + 18 \times 7.5 + 14 \times 5.4}{24+18+14}=6.41$$