Matriz de varianzas y covarianzas (matriz de covarianzas)

La matriz de varianzas y covarianzas es una matriz cuadrada que representa para un conjunto de variables estadísticas o variables aleatorias las varianzas muestrales o varianzas poblacionales de todas ellas, en la diagonal principal, y las covarianzas existentes entre todos los pares de variables, fuera de dicha diagonal. Las variables para las que se calcula cada varianza y covarianza dependen de la fila y columna correspondientes a su posición en la matriz, estando las variables ordenadas de la misma manera en filas y columnas. La matriz se caracteriza por ser una matriz simétrica, ya que la propia covarianza es un estadístico simétrico, independiente del orden en que se presenten las variables. La matriz de varianzas y covarianzas se utiliza especialmente en modelos de regresión y otras técnicas multivariantes.

Para las variables \(X_1,X_2,ldots,X_n\) la matriz varianza-covarianza se expresa y determina de la siguiente manera:

$$
\Sigma
=
\begin{bmatrix}
\text{Var}(X_1) & \text{Cov}(X_1,X_2) & \cdots & \text{Cov}(X_1,X_n) \\
\text{Cov}(X_2,X_1) & \text{Var}(X_2) & \cdots & \text{Cov}(X_2,X_n) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\text{Cov}(X_n,X_1) & \text{Cov}(X_n,X_2) & \cdots & \text{Var}(X_n)
\end{bmatrix}$$

La matriz de varianzas y covarianzas también se suele denominar matriz de covarianzas, teniendo en cuenta que la varianza no es más que la covarianza de una variable con sí misma. 

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