La sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci es la lista de números en la que cada término es la suma de los dos anteriores: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 y así sin fin. Se define con $F_0 = 0$, $F_1 = 1$ y $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$, y es probablemente la sucesión más conocida de las matemáticas fuera de las matemáticas. Esa fama es a la vez merecida y exagerada: las propiedades que tiene son auténticas y sorprendentes, y la mitad de los sitios donde se la señala no la contienen.

Nace en un problema de conejos. Leonardo de Pisa publicó en 1202 el Liber Abaci, un tratado que introdujo en Europa las cifras indoarábigas y el cero frente a la numeración romana, y que estaba dirigido a mercaderes: contiene cambios de moneda, repartos de beneficios y cálculo de intereses. Entre los ejercicios hay uno artificial. Se parte de una pareja de conejos recién nacidos; cada pareja tarda un mes en ser fértil y a partir de entonces engendra una pareja nueva cada mes; ningún conejo muere. ¿Cuántas parejas habrá al cabo de un año? La respuesta, trescientas setenta y siete, se obtiene sumando cada mes las parejas del mes anterior más las que ya eran fértiles, que son las de dos meses atrás. El apodo Fibonacci, contracción de filius Bonacci, no lo usó él: se lo puso en 1838 el historiador Guillaume Libri.

La sucesión es más antigua que el libro. Los prosodistas indios se habían preguntado de cuántas maneras se puede componer un verso de duración dada con sílabas largas, que valen dos tiempos, y breves, que valen uno. La respuesta es exactamente esta sucesión, y aparece con claridad en Virahanka hacia el siglo VII, y de forma explícita en Hemachandra alrededor de 1150, medio siglo antes del Liber Abaci. Antes aún, Pingala había dejado indicaciones que apuntan en la misma dirección. Que la sucesión lleve el nombre de quien la trajo a Europa y no de quien la encontró es uno de los casos de mala atribución más limpios de la historia de las matemáticas.

La propiedad que explica casi todo lo demás es que el cociente entre dos términos consecutivos tiende al número áureo, $\varphi = (1+\sqrt5)/2 \approx 1{,}618$. La convergencia es rápida: 8 entre 5 ya da 1,6, y 144 entre 89 da 1,6179. De ahí sale la fórmula de Binet, que calcula cualquier término sin recorrer los anteriores y que resulta llamativa porque combina dos irracionales para producir siempre un entero. Hay más: dos términos consecutivos son siempre primos entre sí, el máximo común divisor de $F_m$ y $F_n$ es $F$ del máximo común divisor de $m$ y $n$, y todo entero positivo se escribe de manera única como suma de términos no consecutivos, que es el teorema de Zeckendorf. El algoritmo de Euclides tiene su peor caso precisamente cuando se le dan dos Fibonacci consecutivos, resultado que Gabriel Lamé demostró en 1844 y que suele citarse como el primer análisis de la complejidad de un algoritmo.

En la naturaleza el caso sólido es la filotaxis, la disposición de hojas, escamas y semillas alrededor de un tallo. Las espirales que se cuentan en el capítulo de un girasol suelen ser treinta y cuatro en un sentido y cincuenta y cinco en el otro, y en una piña ocho y trece. La razón no tiene nada de mística. Si cada primordio aparece girado respecto al anterior un ángulo fijo, el empaquetado más denso y el que menos sombra hace se consigue cuando ese ángulo es el ángulo áureo, unos 137,5 grados, porque al ser irracional ningún primordio queda nunca alineado con otro. Stéphane Douady e Yves Couder lo demostraron en 1992 de la manera más convincente posible: reprodujeron el patrón sin biología, dejando caer gotas de un fluido magnético en el centro de un plato a intervalos regulares y viendo cómo se repelían. Al variar la frecuencia de caída aparecían espontáneamente las parejas de números de Fibonacci.

Fuera de ahí conviene desconfiar. El caparazón del nautilo es una espiral logarítmica, pero su factor de crecimiento no es el número áureo y no tiene relación con la sucesión. Las proporciones áureas que se atribuyen al Partenón, a las pirámides, a la Mona Lisa o al cuerpo humano dependen de dónde se decida poner la regla, y George Markowsky repasó las más citadas en 1992 para mostrar que casi todas se obtienen eligiendo convenientemente los puntos de medida. El propio Luca Pacioli, que puso el número de moda en 1509 con De divina proportione, recomendaba para la arquitectura la proporción vitruviana, no la áurea. La sucesión no necesita esos adornos: que un problema de conejos de 1202 prediga cuántas espirales tiene un girasol ya es bastante.

El ángulo áureo – La proporción áurea en el arte – La recursividad – El conjunto de Mandelbrot