El ángulo áureo

El ángulo áureo es el ángulo que divide una vuelta completa en dos partes que guardan entre sí la proporción áurea. Vale aproximadamente 137,5 grados, o, con más precisión, $360° \cdot (1 - 1/\varphi) \approx 137{,}508°$, donde $\varphi = (1 + \sqrt{5})/2 \approx 1{,}618$ es el número áureo. Es un ángulo que interesa sobre todo a los botánicos, porque es el que separan, con notable regularidad, las hojas sucesivas de muchos tallos, las escamas de las piñas y las semillas de la cabeza de un girasol. La disposición de esas piezas se llama filotaxis, y el ángulo áureo explica dos de sus rasgos más llamativos: que las semillas llenen el disco sin dejar huecos, y que los ojos vean en él espirales cuyos números son términos de la sucesión de Fibonacci.

La sucesión de Fibonacci empieza con 1 y 1, y cada término es la suma de los dos anteriores: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89… El cociente entre dos términos consecutivos se acerca al número áureo: $89/55 \approx 1{,}6182$. En un girasol grande se pueden contar dos familias de espirales que salen del centro, unas en el sentido de las agujas del reloj y otras en el contrario, y es frecuente que sean 34 y 55, o 55 y 89. En las piñas se cuentan 8 y 13; en las piñas tropicales, 8, 13 y 21. La regularidad se conoce desde hace siglos y ha dado lugar a mucha mística sobre la proporción áurea en la naturaleza. La explicación, sin embargo, es geométrica y bastante sencilla.

El modelo que reproduce la cabeza del girasol lo propuso Helmut Vogel en 1979. Las semillas se forman una a una en el centro y son empujadas hacia fuera a medida que aparecen nuevas. Vogel supuso que cada semilla nueva se coloca girada un ángulo fijo respecto a la anterior, y que la distancia al centro de la semilla número $n$ es proporcional a $\sqrt{n}$, para que cada una ocupe la misma superficie. Con esas dos reglas, y el ángulo áureo como giro, el dibujo resultante es indistinguible de un girasol real. La figura permite cambiar el ángulo y ver lo sensible que es el resultado: basta con desviarse un par de décimas de grado para que el disco se desordene y aparezcan brazos separados por huecos.

La razón está en cómo se aproxima cada ángulo por fracciones. Si el giro es una fracción sencilla de vuelta, por ejemplo $2/5$, que son 144 grados, la sexta semilla cae exactamente en la misma dirección que la primera, y todas se alinean en cinco radios rectos con huecos enormes entre ellos. Si el giro es un número irracional, las semillas no se alinean nunca exactamente, pero si ese número está muy cerca de una fracción sencilla, casi se alinean, y el disco se llena mal. Para llenar el espacio de manera uniforme hace falta un ángulo que esté lo más lejos posible de todas las fracciones sencillas. Ese número existe y es, en un sentido preciso, el número áureo: su desarrollo en fracción continua está formado solo por unos, el menor valor posible, y por eso es el número irracional peor aproximado por fracciones, un resultado que Adolf Hurwitz demostró en 1891.

Las espirales de Fibonacci salen de esa misma aproximación. Las mejores aproximaciones por fracciones de la parte de vuelta que gira el ángulo áureo, 0,382, son $1/2$, $1/3$, $2/5$, $3/8$, $5/13$, $8/21$, $13/34$…, cocientes de términos de Fibonacci. Cuando una fracción como $13/34$ aproxima bien el giro, las semillas que distan 34 posiciones entre sí quedan casi en la misma dirección, un poco desplazadas, y el ojo las une en una espiral: aparecen 34 espirales. Cerca del centro, donde las semillas están más apretadas en ángulo, dominan las aproximaciones de denominador pequeño y se ven 13 o 21 espirales; hacia el borde, 34, 55 o 89. Los botones de la figura colorean las semillas por grupos y dejan ver cada familia.

Queda la pregunta de por qué la planta usa ese ángulo. En el siglo XIX el botánico Wilhelm Hofmeister observó que cada hoja nueva aparece en el hueco más amplio que dejan las anteriores, lejos de las que acaban de formarse. En 1992 Stéphane Douady e Yves Couder reprodujeron ese mecanismo con un experimento físico: dejaban caer gotas de ferrofluido, un líquido magnetizable, en el centro de un plato con un campo magnético que las hacía repelerse entre sí y las empujaba hacia el borde. Cada gota nueva se colocaba lejos de las anteriores, y, si el ritmo de caída era el adecuado, el ángulo entre gotas sucesivas se estabilizaba solo en 137,5 grados y aparecían espirales de Fibonacci. No hacía falta ninguna regla numérica: el ángulo áureo es lo que sale de colocar cada pieza nueva lejos de las demás. En 2003 Didier Reinhardt y sus colaboradores identificaron el mecanismo biológico: una hormona vegetal, la auxina, se acumula donde va a surgir la siguiente hoja, y el brote que se forma absorbe la de su alrededor, de modo que la siguiente solo puede aparecer lejos.

La naturaleza no es tan exacta como el modelo. En 2012, en homenaje al trabajo que Alan Turing dejó inacabado sobre la filotaxis, un experimento de ciencia ciudadana en Mánchester pidió a la gente que cultivara girasoles y contara sus espirales. Jonathan Swinton y sus colaboradores analizaron en 2016 los datos de 657 girasoles. De 768 recuentos de espirales fiables, 565 eran números de Fibonacci y otros 67 tenían estructura de Fibonacci de otro tipo, como el doble de un término. Pero en torno a uno de cada cinco no la tenía: había números vecinos de los de Fibonacci, sobre todo uno menos que un término, cabezas con estructuras de otras sucesiones y algunas tan irregulares que no se podía asignar ningún número. Es un buen recordatorio de lo que muestra la figura. El ángulo áureo no es una ley que la planta obedezca, sino el resultado de un proceso físico que tiende a él, y basta una pequeña desviación durante el crecimiento para que el recuento se salga de la sucesión.