La paradoja de Condorcet

La paradoja de Condorcet es el hecho de que las preferencias de un grupo pueden ser incoherentes aunque las de cada uno de sus miembros sean perfectamente razonables. Puede ocurrir que una mayoría prefiera la opción A a la B, otra mayoría prefiera la B a la C y una tercera prefiera la C a la A, de modo que cualquier opción elegida pierde frente a alguna otra en una votación directa. Ninguna alternativa es «la que quiere la mayoría», y el resultado final depende del orden en que se vote o de quién lo decida. Es uno de los descubrimientos más incómodos de la teoría política, porque ataca la idea misma de que exista una voluntad popular esperando a ser medida.

El ejemplo mínimo necesita tres votantes y tres candidatos. La primera votante prefiere A, luego B, luego C. El segundo prefiere B, luego C, luego A. La tercera prefiere C, luego A, luego B. Si se enfrentan A y B, gana A por dos votos a uno, porque la primera y la tercera la ponen delante. Si se enfrentan B y C, gana B por dos a uno. Y si se enfrentan C y A, gana C, también por dos a uno. Cada votante, por separado, es coherente; el grupo gira en círculo. Quien controle la agenda gana: basta con decidir qué dos opciones se votan primero para que la superviviente sea la que uno quería.

Lo describió Nicolas de Caritat, marqués de Condorcet, matemático y secretario perpetuo de la Academia de Ciencias de París, en su Ensayo sobre la aplicación del análisis a la probabilidad de las decisiones tomadas por mayoría de votos, de 1785. El libro perseguía sobre todo otra cosa: demostrar que, si cada votante tiene más probabilidades de acertar que de equivocarse, una asamblea grande decide mejor que cualquiera de sus miembros, el resultado que hoy se conoce como teorema del jurado. Para ello Condorcet propuso comparar a los candidatos por parejas y elegir al que venciera a todos los demás. Al hacerlo se dio cuenta de que ese ganador no siempre existe.

La propuesta respondía a la de su colega de la Academia Jean-Charles de Borda, que había defendido unos años antes un sistema de puntos: cada votante ordena a los candidatos, el último recibe cero puntos, el penúltimo uno, y así hacia arriba, y gana quien más sume. Condorcet objetó que el método de Borda puede derrotar a un candidato que vencería uno por uno a todos sus rivales. Borda tenía su propio argumento: su sistema tiene en cuenta la intensidad de las preferencias y no solo su dirección. Se le atribuye además una respuesta a quien le advirtió que su método era fácil de manipular: que solo estaba pensado para gente honrada. La discusión entre ambos fundó la teoría moderna del voto, aunque tenía un precedente medieval. En el siglo XIII el mallorquín Ramon Llull había descrito un método de elección por comparaciones de parejas muy parecido al de Condorcet, en textos que permanecieron casi ignorados hasta que uno de sus manuscritos se identificó en 2001.

La paradoja cayó en el olvido durante siglo y medio, salvo redescubrimientos aislados como el de Lewis Carroll, que se topó con ella organizando votaciones en Oxford. Volvió en 1948 de la mano del economista escocés Duncan Black, que encontró también una salida parcial: si todos los votantes ordenan las opciones sobre un mismo eje, por ejemplo de izquierda a derecha, y cada uno prefiere lo más cercano a su posición, los ciclos desaparecen y gana la opción preferida por el votante mediano.

La generalización llegó con Kenneth Arrow. En un artículo de 1950 y en su tesis, publicada como libro en 1951, Arrow fijó unas pocas condiciones que cualquier procedimiento razonable de decisión colectiva debería cumplir: que funcione con cualquier combinación de preferencias individuales, que si todos prefieren A a B el grupo también lo haga, que la posición relativa de A y B no dependa de lo que se opine sobre una tercera opción, y que no haya un dictador cuyas preferencias se impongan siempre. Demostró que, con tres opciones o más, ningún sistema las satisface todas a la vez. El ciclo de Condorcet resultó ser el síntoma de una imposibilidad general.

¿Ocurre en la realidad? Encontrar ciclos es difícil, porque las votaciones rara vez recogen órdenes completos de preferencia. William Riker sostuvo en los años ochenta que algunas votaciones del Congreso estadounidense se habían decidido gracias a ciclos manipulados desde la agenda. Peter Kurrild-Klitgaard halló en 2001 un ciclo entre los principales aspirantes a primer ministro en una encuesta danesa de 1994. Los estudios con grandes electorados sugieren, sin embargo, que los ciclos son raros cuando hay muchos votantes con preferencias variadas, y que la amenaza más práctica es otra: la manipulación del orden del día y el voto estratégico.

La lección no es que la democracia sea imposible, sino que ningún sistema electoral es neutral. Elegir entre mayoría simple, doble vuelta, el método de Borda o el de Condorcet no es un detalle técnico, porque con las mismas papeletas cada uno puede proclamar a un ganador distinto. La votación mayoritaria parece la expresión natural de lo que quiere un grupo, y Condorcet mostró que a veces no hay tal cosa.

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