Variaciones con repetición

Una variación con repetición es una secuencia de elementos ordenados escogidos de una colección de elementos disponibles, distinguiéndose una variación de otra, tanto por los elementos escogidos como por el orden en que aparecen. Por ejemplo, con las letras A y B pueden formarse las siguientes variaciones con repetición de tamaño 3 que pueden observarse en la imagen de la derecha.

Para un conjunto total de n elementos disponibles, las variaciones con repetición de k elementos se calculan de acuerdo a la siguiente formula:

$$VR_n^k=n^k$$

Por ejemplo, en el ejemplo anterior, se disponen de n=2 elementos (A y B) para forma secuencias ordenadas de tamaño k=3, de modo que de acuerdo con la fórmula anterior, el número de variaciones con repetición es el siguiente, que coincide con la enumeración de variaciones que damos en la imagen de la derecha:

$$VR_2^3=2^3=8$$

La deducción de la fórmula es inmediata. Para la primera posición de la secuencia a formar se disponen de n elementos para elegir, para la segunda posición también de dispone de n elementos, dado que estos se pueden repetir, y así de forma sucesiva hasta llegar a la posición k-ésima de la variación, de forma que el número de variaciones se determina desarrollando en diagrama de árbol los elementos de los que se dispone en cada paso resultado al final:

$$VR_n^k=\underbrace{ n \times n \times \cdots \times n}_{k \ veces}=n^k$$

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