La regresión a la media

La regresión a la media es el hecho de que, cuando dos medidas están correlacionadas pero no perfectamente, los casos extremos en la primera tienden a ser menos extremos en la segunda. Los hijos de padres muy altos son altos, pero menos que sus padres; los alumnos que sacan la mejor nota en un examen sacan buena nota en el siguiente, pero rara vez la mejor; el hospital con más muertes este año tendrá probablemente menos el año que viene sin que nadie haya hecho nada. No es una fuerza, ni una tendencia hacia la mediocridad, ni un castigo por destacar. Es una consecuencia aritmética de que una parte de cualquier medida sea azar, y sin embargo lleva siglo y medio produciendo conclusiones equivocadas en la medicina, la educación, la economía y el deporte.

Francis Galton la descubrió midiendo estaturas. En 1886 publicó una tabla con 928 hijos adultos de 205 parejas inglesas, en la que a cada hijo se le asignaba la estatura media de sus padres —con la de la madre multiplicada por 1,08 para hacerla comparable con la del padre— y comprobó que los hijos de padres que medían 5 centímetros más que la media medían, de media, unos 3 centímetros más, dos tercios del exceso. La figura de esta página dibuja exactamente esa tabla, pasada a centímetros. La recta que mejor ajusta la estatura de los hijos a la de los padres tiene pendiente 0,65, y los círculos blancos, la media de los hijos para cada grupo de padres, se apartan de la diagonal en las dos puntas: los hijos de los padres más altos son más bajos que ellos, y los de los más bajos, más altos.

Galton lo llamó primero reversión y después regresión hacia la mediocridad, y pensó al principio que había descubierto una ley de la herencia, una fuerza que devolvía a cada generación hacia el tipo ancestral. Le costó darse cuenta de que el fenómeno no tiene nada que ver con la herencia: el botón de la figura que invierte la predicción lo demuestra. Si se toman los hijos más altos y se mira a sus padres, los padres son también menos altos que ellos; la regresión funciona igual hacia atrás en el tiempo, y ningún mecanismo biológico puede hacer que los hijos «tiren» de la estatura de sus padres. Stephen Stigler, historiador de la estadística, ha contado cómo Galton tardó años en pasar de esa intuición equivocada a la explicación correcta, que es puramente estadística, y cómo en el camino inventó el coeficiente de correlación y la recta de regresión, que heredaron el nombre de un fenómeno que ya no describen.

La explicación es esta. La estatura de una persona se puede pensar como una parte que comparte con sus padres y otra que no: alimentación, enfermedades, azar del desarrollo. Los padres excepcionalmente altos lo son en parte por la primera y en parte por la segunda, y solo transmiten la primera. Sus hijos reciben la parte compartida y una porción nueva de azar, que en promedio es cero, así que quedan más cerca de la media. Cuanto menor es la correlación entre las dos medidas, mayor la regresión; con correlación perfecta no habría ninguna, y con correlación cero la mejor predicción para cualquier hijo sería la media general, sea como sea el padre. En los datos de Galton la correlación es de 0,46 y la pendiente, la fracción del exceso que se conserva, de 0,65. La recta naranja de la figura es esa fracción.

El error que la regresión induce tiene nombre —la falacia de la regresión— y consiste en atribuir a una causa lo que la aritmética garantizaba. Harold Hotelling lo denunció en 1933 en una reseña célebre del libro El triunfo de la mediocridad en los negocios, en el que el economista Horace Secrist había mostrado, con cientos de tablas, que las empresas más rentables de un año eran menos rentables años después, y las menos rentables más, y lo había interpretado como una tendencia de la competencia a igualar a todos. Hotelling señaló que las tablas probaban lo mismo que probarían las estaturas de Galton, es decir, nada, y que el mismo libro se podía haber escrito leyendo el tiempo hacia atrás. En medicina el problema es cotidiano: un paciente al que se trata porque su tensión salió alta en una medida tendrá una medida más baja en la siguiente aunque el tratamiento no haga nada, porque parte de la primera era ruido. Martin Bland y Douglas Altman lo explicaron en 1994 a los lectores del British Medical Journal y concluyeron que la única defensa es el grupo de control, que regresa lo mismo sin recibir el tratamiento.

Daniel Kahneman ha convertido el fenómeno en una pieza central de su explicación de por qué el juicio intuitivo falla. Cuenta que instructores de vuelo de la aviación israelí estaban convencidos de que reñir a un cadete tras una mala maniobra mejoraba la siguiente, y de que felicitarlo tras una buena la empeoraba, y que ambas cosas eran ciertas y ninguna se debía a ellos: tras una maniobra excepcionalmente mala lo esperable es una mejor, y tras una excepcionalmente buena, una peor, con instructor o sin él. La misma lógica explica la «maldición» de las portadas deportivas, la caída de las segundas temporadas y el desengaño con el fichaje estrella que venía de su mejor año. La mente busca una causa para cada cambio, y la regresión produce cambios que no tienen ninguna.

La lección de la figura está en el deslizador. Elegir a los padres de 184 centímetros y ver que sus hijos miden de media 182,6 no dice nada sobre los genes de esas familias; dice que los padres de 184 fueron seleccionados por ser altos y que parte de su altura no era transmisible. Cualquier vez que se seleccione un grupo por su valor extremo en una medida —los peores colegios, los mejores fondos de inversión, las carreteras con más accidentes— y se vuelva a medir, el grupo habrá mejorado o empeorado hacia la media sin que eso pruebe la eficacia de lo que se haya hecho entre tanto. Galton lo descubrió con cintas métricas en 1886, y sigue siendo la trampa más común en la lectura de datos.

Desviación típica (desviación estándar) – Recta de regresión de mínimos cuadrados – Sesgo del superviviente – Correlación espuria