La paradoja de los gemelos

La paradoja de los gemelos es el experimento mental más conocido de la relatividad. Uno de dos gemelos sube a una nave, viaja a una velocidad cercana a la de la luz hasta una estrella lejana y vuelve; el otro se queda en la Tierra. Cuando se reencuentran, el viajero es más joven: según lo lejos y lo rápido que haya ido, por unos meses o por décadas. Eso ya resulta extraño, pero no es la paradoja. La paradoja es que, según la relatividad, el movimiento es relativo: desde la nave, es la Tierra la que se aleja y vuelve, y por el mismo razonamiento debería ser el gemelo de la Tierra el que envejece menos. Los dos no pueden ser más jóvenes que el otro. La solución tiene un siglo, y los relojes atómicos la han confirmado hasta el nanosegundo.

El origen está en el artículo de Albert Einstein de 1905 que fundó la relatividad especial. Einstein deduce que un reloj en movimiento marcha más despacio visto desde quien está en reposo, un efecto que se llama dilatación del tiempo y que crece con la velocidad según el factor $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$, y lo ilustra con dos relojes sincronizados, uno de los cuales viaja por un circuito cerrado y vuelve: al regresar, se ha retrasado. No hay gemelos en el texto, y Einstein no vio paradoja alguna. El físico francés Paul Langevin les dio forma humana en una conferencia de 1911 en Bolonia, con un viajero que parte en un proyectil, vuelve dos años después según su reloj y encuentra que en la Tierra han pasado doscientos. Langevin usó la historia para defender que el espacio-tiempo de Minkowski era algo real, y es él quien señaló la clave: el viajero ha sentido la aceleración del proyectil al dar la vuelta, y el que se quedó, no. Los dos gemelos no son intercambiables.

La asimetría es toda la solución. La relatividad especial dice que las leyes de la física son las mismas para todos los observadores inerciales, es decir, los que no aceleran, y el gemelo de la Tierra lo es, con buena aproximación, durante todo el viaje. El viajero no: para volver tiene que frenar, girar y acelerar de nuevo, y en ese momento cambia de sistema de referencia. No hay un único punto de vista desde el que la nave esté quieta todo el tiempo, sino dos, el de ida y el de vuelta, y al pasar del uno al otro la fecha que el viajero atribuye a «ahora mismo en la Tierra» salta hacia delante de golpe. Si se hace la cuenta desde la nave, teniendo en cuenta ese salto, sale exactamente lo mismo que desde la Tierra: el viajero vuelve más joven. La paradoja aparente nace de aplicar a los dos gemelos una simetría que solo tiene uno. No hace falta la relatividad general ni la gravedad para resolverla, aunque durante décadas se repitiera lo contrario; basta con dibujar las dos trayectorias en el espacio-tiempo y observar que el tiempo que mide un reloj depende del camino que recorre, igual que el cuentakilómetros de un coche depende de la ruta y no solo del destino. El gemelo que se queda recorre el camino recto, y en el espacio-tiempo de Minkowski el camino recto entre dos sucesos es el más largo en tiempo propio.

El experimento se ha hecho, con relojes en lugar de personas. En octubre de 1971, Joseph Hafele y Richard Keating embarcaron cuatro relojes atómicos de cesio en vuelos comerciales que dieron la vuelta al mundo, primero hacia el este y luego hacia el oeste, y los compararon con los del Observatorio Naval de Washington. Los que volaron hacia el este, a favor de la rotación de la Tierra, volvieron unos 59 nanosegundos atrasados; los que volaron hacia el oeste, 273 adelantados, porque a la dilatación por velocidad se sumaba el efecto de la gravedad, más débil a diez mil metros, que adelanta los relojes. Las predicciones y las medidas coincidían dentro del error. Desde entonces el efecto se ha medido con una precisión creciente: en 2010, el grupo de David Wineland comparó dos relojes ópticos de aluminio y detectó la dilatación a una velocidad de 36 kilómetros por hora, y la diferencia gravitatoria entre dos relojes separados 33 centímetros de altura. Y se usa a diario: los satélites del GPS llevan relojes que, por su velocidad y su altura, adelantan unos 38 microsegundos al día respecto a los de tierra, y si no se corrigiera el posicionamiento acumularía un error de diez kilómetros diarios.

El viajero humano más veloz, el cosmonauta Gennady Padalka, pasó 879 días en órbita a 28.000 kilómetros por hora y volvió unas 22 milésimas de segundo más joven de lo que sería si no hubiera viajado. Para que la diferencia se notara en una cara haría falta una nave que ninguna tecnología prevé. Pero la paradoja no trataba de eso, sino de si la relatividad se contradecía a sí misma, y la respuesta, desde Langevin, es que no: el tiempo no es una magnitud que fluye igual para todos, sino algo que cada reloj mide a lo largo de su propio camino, y dos caminos distintos entre los mismos dos puntos no tienen por qué medir lo mismo.

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