Desigualdad de Markov

La desigualdad de Markov es una desigualdad probabilística que permite conociendo únicamente la esperanza matemática o media de una distribución acotar la probabilidad del extremo superior de una variable aleatoria no negativa. Más concretamente, para $X \geq 0$ (variable aleatoria no negativa) y el extremo de la distribución $X \geq a$, siendo $a>0$:

Por ejemplo si conocemos que la calificación media para un examen es de media 6, podemos aproximar o acotar la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor igual o superior a 8 de esta forma:

$$P[X \geq 8] \leq \cfrac{6}{9}=0.75$$

Es decir, gracias a la desigualdad de Markov podemos asegurar que la probabilidad de que una persona obtenga una calificación superior o igual a 8  es inferior o igual a 0.75. Como puede verse, la desigualdad de Markov no proporciona una cota fina de la probabilidad, y es que la probabilidad real puede ser tanto 0.75 como 0.01, valores harto diferentes. Para aproximaciones o cotas más exactas puede utilizarse la desigualdad de Chebyshev, pero esta exige conocer también la desviación típica de la distribucion. El hecho de que la distribución de Chebyshev aporte una cota más exacta es lógico, ya que incorpora la información adicional proporcionada por la desviación.

A pesar de llevar el nombre de Andrey Markov (1856-1922), la desigualdad era conocida ya por su profesor Pafnuty Chebyshev (1821-1853). De hecho, la desigualdad de Chebyshev se demuestra utilizando la desigualdad de Markov, y aquella fue demostrada antes del nacimiento de Markov.