Varianza poblacional

La varianza poblacional de una variable aleatoria $X$ es una medida de dispersión que cuantifica la variabilidad de los valores de la variable alrededor de su media o esperanza matemática $\mu = E[X]$ (consulta, además, para una serie de datos: Varianza). Se define como el valor esperado del cuadrado de la desviación respecto de la media:

Para una distribución discreta que toma los valores $x_i$ con probabilidades $p_i$, la varianza poblacional se calcula con un sumatorio:

Para una distribución continua con función de densidad $f(x)$, el sumatorio se sustituye por una integral:

En ambos casos, desarrollando el cuadrado y aplicando las propiedades del valor esperado, la varianza admite la expresión del segundo momento menos el primer momento al cuadrado:

es decir, el momento de orden 2 respecto al origen menos la media poblacional al cuadrado.

Un ejemplo sencillo de cálculo en el caso discreto es el lanzamiento de un dado equilibrado, donde cada valor $x_i = 1, 2, \dots, 6$ tiene probabilidad $p_i = 1/6$. La media es $\mu = 7/2 = 3{,}5$ y el segundo momento es $E[X^2] = (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36)/6 = 91/6$, de modo que:

En el caso continuo, un ejemplo igual de sencillo es una variable con distribución exponencial de parámetro $\lambda = 1$, cuya densidad es $f(x) = e^{-x}$ para $x \geq 0$. Como $E[X] = 1$ y $E[X^2] = 2$, integrando por partes, resulta:

Las propiedades de la varianza poblacional ante un cambio de variable lineal $Y = aX + b$ son dos. La suma de una constante no altera la varianza, $Var(X+b) = Var(X)$, porque un desplazamiento de todos los valores no modifica su dispersión alrededor de la media. En cambio, la multiplicación por una constante multiplica la varianza por el cuadrado de esa constante, $Var(aX) = a^2\,Var(X)$, de modo que en conjunto $Var(aX+b) = a^2\,Var(X)$. Por ello la desviación típica $\sigma$, su raíz cuadrada positiva, queda multiplicada por el valor absoluto de la constante.

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