Correlación simple

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La correlación simple es la relación entre dos variables, medida sin tener en cuenta ninguna otra. Se contrapone a la correlación múltiple, que mide la relación de una variable con un conjunto de varias a la vez, y a la correlación parcial, que mide la relación entre dos variables una vez descontado el efecto de terceras. Es la forma más elemental de correlación y la que se calcula casi siempre en primer lugar, antes de pasar a modelos con más variables.

Tres tipos de correlación: la simple relaciona dos variables, la múltiple una variable con varias a la vez, y la parcial dos variables descontando el efecto de una tercera

El coeficiente de Pearson

Para dos variables cuantitativas, la correlación simple se mide con el coeficiente de correlación lineal de Pearson, que divide la covarianza entre el producto de las desviaciones típicas:

r_{xy} = \frac{S_{xy}}{S_x \, S_y} = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2} \sqrt{\sum (y_i - \bar{y})^2}}

Dividir por las desviaciones típicas hace que $r$ no dependa de las unidades: da lo mismo medir la altura en metros o en centímetros. Su valor está siempre entre −1 y 1:

$r = 1$ : relación lineal perfecta y directa; cuando una variable crece, la otra crece en proporción fija.
$r = -1$ : relación lineal perfecta e inversa.
$r = 0$ : ausencia de relación lineal, que no es lo mismo que ausencia de relación.

El cuadrado del coeficiente, $r^2$ , es el coeficiente de determinación: la proporción de la variabilidad de una variable que explica la recta de regresión sobre la otra. Un $r = 0{,}7$ parece alto, pero $r^2 = 0{,}49$ dice que la recta deja sin explicar la mitad de la variación.

Lo que el coeficiente no ve

Solo mide relaciones lineales. Una relación en forma de U, como la que liga el rendimiento con el nivel de activación (poco rinde mal, mucho también), puede dar un $r$ cercano a cero siendo muy fuerte. En 1973 Francis Anscombe publicó cuatro conjuntos de datos con la misma media, la misma varianza y el mismo $r = 0{,}82$ , y gráficos completamente distintos: uno lineal, uno curvo, uno con un único dato atípico que fabricaba la correlación. La lección sigue vigente: antes de calcular $r$ hay que mirar el diagrama de dispersión.

Es sensible a los valores atípicos. Un solo punto alejado puede crear una correlación que el resto de los datos no tiene, o destruir una que sí tiene. Cuando hay atípicos, o cuando las variables son ordinales, se usa la correlación por rangos de Spearman, que trabaja con las posiciones de los datos y no con sus valores.

No implica causalidad. Que dos variables estén correlacionadas no dice cuál causa a cuál, ni si alguna causa a la otra. La correlación puede deberse a una tercera variable que mueve a las dos, que es el caso de la correlación espuria, o a pura coincidencia en series cortas. Precisamente para esto existe la correlación parcial: si la relación entre $X$ e $Y$ desaparece al controlar $Z$ , la correlación simple estaba midiendo el efecto de $Z$ . Yule lo mostró en 1926 con lo que llamó «correlaciones sin sentido»: la correlación simple entre dos series temporales que crecen a la vez puede ser altísima sin ninguna conexión entre ellas, como la que encontró entre la proporción de matrimonios religiosos en Inglaterra y la tasa de mortalidad.