Binomio (álgebra)

Un binomio es una expresión algebraica formada por dos monomios o términos de potencias enteras no negativas de variables con coeficientes que se suman y restan entre sí. Es un polinomio de dos términos. Por ejemplo:

$$4x+3$$

$$2x^2-6x$$

$$4-5x^3$$

$$4ab^2-3b$$

Binomios conjugados

Dos binomios son conjugados son aquellos que tiene los mismos términos pero están unidos por operaciones diferentes, la adición y la sustracción respectivamente: 

$$\text{(a+b) y (a-b) son binomios conjugados}$$

OPERACIONES FRECUENTES CON BINOMIOS

Producto de binomios

Dos binomios se mutiplican multiplicando cada término de un binomio por los términos del otro y sumando los binomios resultantes, para posteriormente sumar los monomios con variables y potencias iguales. Por ejemplo:

$$(2x+3)(x+4)=2x \cdot x + 2x \cdot 4 + 3 \cdot x + 3 \cdot 4=2x^2+8x+3x+12=2x^2+11x+12$$

En el anterior ejemplo, los monomios 8x y 3x se suman por tener la misma variable a la misma potencia.

Binomios al cuadrado

Un binomio al cuadrado se desarrolla de acuerdo a las siguientes fórmulas:

• si el segundo término es positivo (los dos monomios del binomio se suman):

$$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$$

• si el segundo término es positivo (los dos monomios del binomio se suman):

$$(a+b)^2=a^2+b^2-2ab$$

El producto de binomios conjugados es una diferencia de cuadrados

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

Binomios a la potencia n

Los binomios a la potencia n, esto es, del tipo \((a+b)^n\) se desarrollan mediante el teorema de Newton o teorema del binomio, utilizando los coeficientes binomiales.

Factorización de binomios

Factorizar un binomio es expresarlo como productos de otros dos binomios u otras expresiones algebraicas. Para factorizar un binomio, debemos en primer extraer el factor común a los dos términos del binomio. Demos algunos ejemplos:

$$(2x^2+x)=x(2x+1)$$

$$(8x+6)=2(4x+3)$$

$$(xy^2+x^2y)=xy(y+x)$$

Una vez extraido el factor común de los dos términos, podemos encontrarnos con diferentes situaciones:

(1) si el binomio resultante tras extraer el factor común sea una diferencia de cuadrados, entonces factorizamos el binomio como productos de binomios conjugados; por ejemplo:

$$x^2-4=(x-2)(x+2)$$

Hay otros casos que no son tan evidentes; por ejemplo:

$$2x^2-6=(\sqrt{2}x- \sqrt{6})(\sqrt{2}x+\sqrt{6})$$