Ecuaciones de primer grado

Una ecuación de primer grado es una ecuación con una sola variable o incógnita que aparece elevada a la primera potencia. Frecuentemente, en la definición se incluye el caso en el que existe más de una variable, aunque generalmente se prefiere el término de ecuación lineal para ese caso. 

Ejemplos de ecuación de primer grado

• \(2x-4=3\)
• \(8-x=2\)
• \(3x+7=4-x\)
• \(2x-4=3\)
• \(4\times (x-6)=12\)
• \(\cfrac{6x-4}{2}=4\)
• \(\cfrac{6x-4}{2}=\cfrac{7-2x}{3}\)

Resolución de una ecuación de primer grado en forma general

Una ecuación de primer grado en forma general es aquella que se presenta en la forma:

$$ax+b=0$$

Despejar la incógnita o encontrar la solución de una ecuación general de primer grado es inmediata, utilizando para ello las reglas básicas del álgebra: una expresión que suma en un miembro pasa al otro miembro de la ecuación restando o con signo opuesto (y a la inversa) y una expresión que multiplica pasa al otro miembro de la ecuación dividiendo (y a la inversa). De este modo:

$$ax+b=0 \longrightarrow ax=-b \longrightarrow x=-\cfrac{b}{a}$$

Por ejemplo,

$$2x-6=0 \longrightarrow 2x=6 \longrightarrow x=-\cfrac{6}{2}=3$$

$$3x+10=0 \longrightarrow 3x=-10\longrightarrow x=-\cfrac{10}{3}$$

Resolución de cualquier ecuación de primer grado

Todas las ecuaciones de primer grado son reducibles o convertibles a una ecuación de primer grado general, de modo que la clave para resolver una ecuación de primer grado es reducirla a una ecuación de primer grado en forma general. Esto se hace a través de diferentes pasos:

• en primer lugar, elimina los paréntesis, generalmente utilizados para multiplicar una expresión completa, desarrollando para ello las operaciones pertinentes; por ejemplo: $$3 \times (2x-3) \to 6x-9$$
• cuando aparezcan divisiones, lleva el divisor al otro miembro de la ecuación multiplicando la expresión completa del otro miembro; por ejemplo: $$\cfrac{x-4}{3}=2 \longrightarrow x-4=3 \times 2=6$$
  
• en el caso de que aparezcan divisiones en los dos miembros de la ecuación de primer grado aparezcan divisiones, lo más cómodo es multiplicar en diagonal numeradores con los denominadores del miembro opuesto, que no es más que aplicar la regla anterior en cada miembro de la ecuación; por ejemplo: $$\cfrac{x-4}{3}=\cfrac{2x-4}{4} \longrightarrow 4 \times (x-4)=3 \times (2x-4)$$
• finalmente, si la incógnita o los términos constantes aparecen en los dos miembros de la ecuación, se llevan al otro miembro con signo puesto, esto es, si suma a un lado se resta al otro y a la inversa, para finalmente agrupar y simplificar el resultado; por ejemplo: $$4x-2=6-2x \longrightarrow 4x+2x=6+2 \longrightarrow 6x=8 \longrightarrow 6x-8=0$$
  

Ejemplo completo de resolución

$$\cfrac{3x-7}{2}=\cfrac{6-x}{3}$$

En primer lugar, multiplicamos en diagonal, aplicando la regla de que los divisores pasan al otro miembro multiplicando:

$$3 \times (3x-7)=2 \times (6-x)$$

Desarrollamos las multiplicaciones:

$$9x-21=12-2x$$

Reagrupamos incógnitas y términos constantes, paśandolos de un miembro a otro con signo opuesto:

$$9x+2x=12+21 \longrightarrow 11x=33 \longrightarrow x=\cfrac{33}{11}=3$$