Contraste de Durbin-Watson

El contraste de Durbin-Watson es una prueba estadística que se utiliza para detectar la presencia de autocorrelación de primer orden en los residuos de un modelo de regresión. Fue propuesto por los estadísticos James Durbin y Geoffrey Watson en 1950 y 1951, y sigue siendo uno de los contrastes más extendidos en econometría y análisis de series temporales.

La motivación del contraste parte de uno de los supuestos del teorema de Gauss-Markov: que las perturbaciones del modelo no están correlacionadas entre sí. Cuando este supuesto falla, el estimador de mínimos cuadrados ordinarios (MCO) sigue siendo insesgado, pero deja de ser eficiente y, sobre todo, los errores estándar habituales resultan incorrectos, lo que invalida los contrastes de hipótesis y los intervalos de confianza. La autocorrelación es especialmente frecuente cuando los datos son series temporales, ya que las perturbaciones de periodos consecutivos tienden a parecerse.

El contraste parte de un modelo en el que los errores siguen un proceso autorregresivo de primer orden, AR(1):

donde $\rho$ es el coeficiente de autocorrelación y $u_t$ es un ruido blanco. Las hipótesis son $\mathrm{H}_0: \rho = 0$, es decir, ausencia de autocorrelación, frente a $\mathrm{H}_1: \rho > 0$ (autocorrelación positiva), $\rho < 0$ (negativa) o $\rho \neq 0$ en el caso bilateral.

El estadístico se calcula a partir de los residuos de MCO, $e_t$, para $t = 1, \ldots, T$, como

Para muestras grandes, el estadístico se relaciona con el coeficiente de autocorrelación muestral $\hat{\rho}$ mediante la aproximación

De ello se deduce que $d$ toma valores entre 0 y 4. Un valor próximo a 2 indica ausencia de autocorrelación; un valor próximo a 0 revela autocorrelación positiva fuerte; un valor próximo a 4 revela autocorrelación negativa fuerte.

La regla de decisión tiene un matiz importante: la distribución exacta de $d$ depende de la matriz de regresores $X$, por lo que Durbin y Watson no pudieron tabular valores críticos únicos. En su lugar proporcionaron dos cotas, un límite inferior $d_L$ y un límite superior $d_U$, que dependen del tamaño muestral $T$ y del número de regresores $k$. Para contrastar autocorrelación positiva, si $d < d_L$ se rechaza $\mathrm{H}_0$ y se concluye que hay autocorrelación positiva; si $d > d_U$ no se rechaza $\mathrm{H}_0$; y si $d_L \leq d \leq d_U$ el contraste no es concluyente. Para autocorrelación negativa se aplica la misma lógica sustituyendo $d$ por $4 - d$.

Un ejemplo numérico aclara el procedimiento. Supóngase una regresión del consumo sobre la renta con 40 observaciones trimestrales y un único regresor. Si el estadístico resulta $d = 0{,}85$ y las tablas, al 5 %, dan $d_L = 1{,}44$ y $d_U = 1{,}54$, como $0{,}85 < 1{,}44$ se rechaza la hipótesis nula: existe evidencia de autocorrelación positiva, y las inferencias basadas en MCO no son fiables.

El contraste exige ciertas condiciones de validez y tiene limitaciones conocidas. El modelo debe incluir término constante, y los regresores deben ser no estocásticos o estrictamente exógenos. Si el modelo contiene la variable dependiente retardada como regresor, el estadístico queda sesgado hacia 2 y el contraste pierde potencia; en ese caso se emplea el estadístico h de Durbin. Además, el contraste solo detecta autocorrelación de primer orden, posee una zona de indeterminación que puede impedir llegar a una conclusión, y sus resultados exactos se basan en la normalidad de los errores.

Existen alternativas que cubren estas lagunas. El contraste de Breusch-Godfrey permite detectar autocorrelación de órdenes superiores y es válido con regresores retardados, mientras que el contraste de Ljung-Box se aplica a la autocorrelación de los residuos en modelos de series temporales.

Si se detecta autocorrelación, las soluciones habituales son estimar mediante mínimos cuadrados generalizados (procedimientos de Cochrane-Orcutt o Prais-Winsten), reespecificar el modelo incluyendo variables omitidas o retardos, o utilizar errores estándar robustos a la autocorrelación (Newey-West).

Por su sencillez y por estar incorporado en casi todo el software estadístico, el estadístico de Durbin-Watson es habitualmente la primera comprobación que se realiza sobre los residuos de una regresión con datos temporales.