La ley de Benford

La ley de Benford describe una regularidad inesperada en muchas colecciones de números tomadas del mundo: la primera cifra no se reparte por igual entre el 1 y el 9. Alrededor del 30 % de los números empiezan por 1, el 17,6 % por 2, el 12,5 % por 3, y así en descenso hasta el 9, con el que empieza menos del 5 %. La fórmula es que la proporción de números cuya primera cifra es d vale log₁₀(1 + 1/d). La cumplen las poblaciones de los municipios, los importes de las facturas, las longitudes de los ríos, las constantes físicas y los saldos de las cuentas bancarias; no la cumplen las estaturas, los números de teléfono ni los precios de un supermercado. Saber cuándo se cumple y cuándo no es, en la práctica, lo que la hace útil.

La figura de esta página la pone a prueba con datos reales. La población de los 217 países y territorios del Banco Mundial en 2023 empieza por 1 en el 31 % de los casos y por 9 en menos del 4 %, muy cerca de lo que predice la ley aunque con el vaivén que corresponde a poco más de doscientas cifras. Los doscientos primeros números de Fibonacci y las potencias de 2 la siguen casi al milímetro. Y los dos conjuntos tomados de la propia enciclopedia —la longitud en palabras de cada artículo y el número de veces que aparece cada palabra— la incumplen de forma llamativa, por dos razones distintas que se ven en la tira inferior de la figura.

El fenómeno lo notó primero el astrónomo Simon Newcomb en 1881, al observar que las primeras páginas de las tablas de logaritmos de la biblioteca estaban más sucias y gastadas que las últimas: la gente buscaba con más frecuencia logaritmos de números que empezaban por 1. Newcomb dedujo la fórmula en una nota de dos páginas y nadie le hizo caso. En 1938 el físico Frank Benford, de la General Electric, la redescubrió y reunió 20.229 números de veinte fuentes distintas —áreas de ríos, poblaciones, constantes, pesos atómicos, cifras de portadas de periódico, resultados de la liga de béisbol— para mostrar que la seguían, con algunas mejor que otras y la mezcla de todas mejor que ninguna. El nombre de Benford se quedó, y la observación sobre la mezcla resultó ser la clave de la explicación.

Por qué ocurre es una pregunta que tardó más de un siglo en tener respuesta completa. La intuición se ve en la tira inferior de la figura: un número que crece de forma proporcional —una población, un capital a interés compuesto, un precio con inflación— pasa más tiempo con la primera cifra en 1 que en 9, porque para ir de 1.000 a 2.000 tiene que duplicarse y para ir de 9.000 a 10.000 le basta con crecer un 11 %. En escala logarítmica, la franja de los números que empiezan por 1 ocupa el 30,1 % de cada década, la de los que empiezan por 9 el 4,6 %, y un conjunto que se reparta de manera uniforme sobre esa escala cumple la ley automáticamente. Theodore Hill demostró en 1995 el resultado general: si se toman números de muchas distribuciones distintas elegidas al azar, la mezcla tiende a la ley de Benford aunque ninguna de las distribuciones la cumpla por sí sola. Eso explica el hallazgo de Benford sobre su mezcla de veinte fuentes, y explica por qué la ley aparece en cualquier colección heterogénea de cifras que abarque varios órdenes de magnitud.

La explicación dice también cuándo no debe esperarse la ley, y los dos conjuntos de Ikusmira son ejemplos de manual. Siete de cada diez artículos tienen entre cincuenta y trescientas palabras: el conjunto no abarca ni una década completa, y los dígitos se reparten casi a partes iguales salvo un exceso de artículos de entre cien y doscientas palabras. Las frecuencias de las palabras fallan por lo contrario: casi la mitad de las palabras del corpus aparece exactamente una vez, y todas esas cifras empiezan por 1, con lo que el primer dígito se lleva más del 50 % en lugar del 30. Ni la ley de Zipf ni la escala logarítmica salvan a un conjunto en el que un solo valor concentra la mitad de los datos. El deslizador de la figura ilustra la propiedad que sí tienen los conjuntos que la cumplen: se les puede multiplicar por cualquier constante, es decir, cambiar de unidad, y la distribución de primeros dígitos apenas se mueve. Un conjunto que cambia de aspecto al pasar de euros a dólares no era de Benford.

El uso que ha hecho famosa a la ley es la detección de fraude. Mark Nigrini mostró en los años noventa que las cifras de las declaraciones de la renta cumplen la ley y que las inventadas no, porque quien fabrica números tiende a repartir los dígitos con más uniformidad de la que produce la realidad y a evitar las repeticiones. Desde entonces, la comparación con Benford es una prueba estándar de la auditoría forense, y Nigrini propuso los umbrales que la figura usa para calificar el ajuste a partir de la desviación media entre las barras y los puntos. En 2011, Bernhard Rauch y sus colegas aplicaron la ley a las estadísticas macroeconómicas que los Estados de la Unión Europea remiten a Eurostat y encontraron que las de Grecia eran, con diferencia, las que peor la seguían, justo en los años de las cuentas que luego resultaron falseadas.

Conviene, con todo, no pedirle a la ley más de lo que da. Que un conjunto no la siga no prueba manipulación: puede ser demasiado pequeño, estar apretado en un rango estrecho, tener un valor dominante o haberse construido con números asignados, como los códigos postales. El caso más discutido es el de las elecciones. Tras las presidenciales iraníes de 2009 se publicaron análisis que señalaban las cifras de votos por colegio como sospechosas por desviarse de Benford; Joseph Deckert, Mikhail Myagkov y Peter Ordeshook mostraron en 2011, con simulaciones y con elecciones limpias de varios países, que los resultados electorales no tienen por qué cumplirla —el número de votos en un colegio depende del tamaño del colegio, que es bastante uniforme— y que la prueba produce falsas alarmas y silencios con igual facilidad. La ley de Benford sirve para decidir qué mirar de cerca; la prueba de que algo está mal hay que buscarla después.