El problema del tanque alemán

El problema del tanque alemán (en inglés, German tank problem) es el de estimar cuántos objetos numerados existen a partir de los números de serie de unos pocos de ellos. Si una fábrica numera sus tanques del uno en adelante y se capturan cinco con los números 19, 40, 42, 60 y 72, ¿cuántos ha fabricado? El nombre viene de la Segunda Guerra Mundial, cuando los estadísticos aliados lo resolvieron para calcular la producción alemana de carros de combate, y acertaron donde el espionaje convencional se equivocaba por un factor de casi cinco.

La figura plantea el problema con una fábrica cuya producción se oculta hasta que se pide verla. Arriba aparecen los números de serie capturados sobre una recta; debajo, lo que estiman tres métodos distintos. El botón de repetir hace dos mil capturas del mismo tamaño y dibuja cómo se reparten las estimaciones de cada método, que es la manera de saber cuál es mejor sin depender de la suerte de una sola captura. La fábrica de partida tiene la producción alemana real de agosto de 1942.

El método más ingenuo es tomar el mayor número visto. Tiene la virtud de no pasarse nunca, y el defecto de quedarse siempre corto: el tanque con el número más alto de la fábrica solo se habrá capturado por casualidad. El segundo método razona sobre la media. Si los números van del uno al N y la captura es al azar, su media debería estar hacia la mitad, en torno a N/2, así que el doble de la media estima N. El razonamiento es correcto y el estimador no tiene sesgo, pero desperdicia información, y a veces da un resultado absurdo: con los números 19, 40, 42, 60 y 72, la media es 46,6 y la estimación sale 92, que es posible; pero si se hubieran capturado el 5, el 8, el 11 y el 90, la estimación sería 56, menos que el 90 que se tiene delante.

El tercer método se fija solo en el mayor número, al que llamaremos m, y en cuántos tanques se han capturado, k. La idea es que los k números capturados parten el intervalo entre cero y N en k + 1 huecos que, por término medio, miden lo mismo. Los huecos por debajo de m se ven, y miden en promedio m/k; el hueco por encima de m, que no se ve, debería medir más o menos lo mismo. La estimación es entonces el mayor visto más un hueco medio:

Con los cinco tanques del ejemplo, m es 72 y la estimación, 72 + 72/5 − 1, que redondeada es 85. Se puede demostrar que este estimador es insesgado y que, entre todos los insesgados, es el de menor varianza, que es la definición técnica de ser el mejor posible. La figura lo enseña sin demostración: tras repetir la captura, la curva del mayor visto queda toda a la izquierda de la producción real, la del doble de la media se centra bien pero se reparte bastante más ancha, y la de la fórmula se centra y se estrecha a la vez.

La historia real es la que ha hecho famoso el problema. Durante la guerra, la División de Guerra Económica de la embajada de Estados Unidos en Londres empezó a reunir los números de serie de todo el material alemán capturado o destruido: chasis, motores, cajas de cambios y, sobre todo, ruedas. Los tanques Panther llevaban las ruedas de rodadura fundidas en moldes numerados, y el análisis de las ruedas de dos tanques capturados permitió estimar cuántos moldes usaba la fábrica y, a partir de ahí, su ritmo de producción. Richard Ruggles y Henry Brodie, dos de los economistas que hicieron el trabajo, lo publicaron en 1947, y compararon sus estimaciones con los registros del ministerio de Albert Speer, que se habían capturado después de la guerra. Para el Panther, las ruedas decían 270 tanques en febrero de 1944, y Speer había anotado 276.

La comparación que se suele citar es la de la producción mensual de tanques en general. Para junio de 1940, la estimación estadística fue de 169 al mes, los servicios de inteligencia calculaban unos 1.000 y los registros alemanes dijeron 122. Para junio de 1941, la estadística dijo 244, la inteligencia 1.550 y los registros 271. Para agosto de 1942, 327, 1.550 y 342. Los informes de inteligencia, basados en interrogatorios, fotografías aéreas y agentes, sumaban cifras de fuentes que se solapaban, y el error iba siempre en la misma dirección: hacia arriba. Los números de serie, en cambio, eran datos que los alemanes no tenían ninguna razón para falsear, porque nadie en la fábrica pensaba que fueran a servir para nada fuera de ella. La estimación estadística se equivocó en todos los casos, pero por unas decenas de tanques y no por más de mil.

El método que se usó no era exactamente la fórmula de la figura. Los números de serie reales no empezaban siempre en uno, se asignaban por bloques a fábricas distintas y tenían huecos, y buena parte del trabajo consistió en reconstruir el sistema de numeración antes de poder contar. La fórmula de mínima varianza la dejó bien establecida Leo Goodman en 1952, en un artículo que trataba el caso general con números que no empiezan en uno, y el problema pasó a los manuales como ejemplo de estimación. En los años noventa entró en las aulas como ejercicio práctico, con alumnos que sacan papelitos numerados de una bolsa e inventan sus propios estimadores antes de compararlos, y es habitual que alguno proponga el doble de la media y otro el mayor visto antes de llegar a la solución.

La misma lógica ha servido para contar muchas otras cosas. En la guerra se aplicó también a otros equipos capturados, y después de ella se ha usado, por ejemplo, para estimar las ventas de un aparato electrónico a partir de los números de serie que sus compradores publicaban en internet, cuando el fabricante no daba la cifra. Tiene el mismo aire de familia que otros métodos que cuentan lo que no se ve a partir de lo que se ve, como la captura y recaptura con que los ecólogos estiman cuántos peces hay en un lago marcando unos cuantos, soltándolos y contando cuántos marcados aparecen en una segunda pesca.

El problema es también un buen ejemplo de un caso en el que los métodos generales fallan. El bootstrap, que sirve para medir la incertidumbre de casi cualquier cifra, no sirve para el máximo, porque ninguna remuestra puede producir un número mayor que el más alto capturado, y justo lo que interesa aquí es lo que hay por encima. Hace falta pensar el problema desde su estructura, que es lo que hicieron los economistas de Londres: los números de serie no son una muestra de cualquier cosa, sino de una secuencia que empieza en un punto y termina en otro, y el final es exactamente lo que se quiere conocer. Estimar bien exige saber qué sesgo tiene cada manera de calcular antes de elegir una, y el mayor número visto, que parece la respuesta más prudente porque nunca se pasa, es la única de las tres que se equivoca siempre en la misma dirección.